0 ψήφοι
343 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία είναι 2 φορές παραγωγίσιμη με $f''(x) \gt 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$. Αν η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x_o = 0$ με τιμή μηδέν και $f(1) + f(-1) = 3$, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f'$, του άξονα $x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $x = -1$ και $x = 1$.

Επειδή έχω κολλήσει σε αυτήν , μπορείτε να με βοηθήσετε;

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 343 προβολές

Πού ακριβώς κόλησες?

Δεν μπορώ να σκεφτώ πως να βρω το ολοκλήρωμα αυτό. Ξέρω ότι $f'(0) = 0$ από θ. Fermat, ξέρω ότι $f(0) = 0$ αφού μας το λέει η άσκηση απλά δεν μπορώ να σκεφτώ το πρόσημο και πως να χρησιμοποιήσω τη σχέση που μου δίνει.. Μάλλον θα χρησιμοποιήσουμε το $f''(x) \gt 0$ απλά και πάλι κολλάω.

πολύ ωραίες παρατηρήσεις. Έφτασες στην πηγή και μένει να πιεις νερό.

1 Απάντηση

+1 ψήφος
Καλύτερη απάντηση

Ζητάει το

$$\int_{-1}^{1}|f'(x)|dx$$

Επειδή η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x_0=0$ με $f(0)=0$, σύμφωνα με τον Fermat (αφού είναι εσωτερικό του $\mathbb{R}$, και η $f$ είναι παραγωγίσιμη) θα ισχύει $f'(0)=0$. Αφού η $f'$ είναι $\uparrow$ (αφού $f''>0$), τότε για $x<0$ θα είναι $f'(x)<0$ και για $x>0$ θα είναι $f'(x)>0$. Έτσι το ολοκλήρωμα γίνεται

$$\int_{-1}^{0}-f'(x)dx+\int_{0}^{1}f'(x)dx =-(f(0)-f(-1))+f(1)-f(0)=f(1)+f(-1)=3$$

απαντήθηκε από τον/την
επιλέχθηκε από τον/την

Άρα αυτή τη σχέση την χρησιμοποιούμε για να βγάλουμε το τελικό αποτέλεσμα. Εγώ νόμιζα στην αρχή πως κάπως θα μας χρειαστεί στο πρόσημο.
Ευχαριστώ.

Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες