Άσκηση στα εμβαδά

Question

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, η οποία είναι 2 φορές παραγωγίσιμη με $f''(x) \gt 0$ $\forall x\in \mathbb{R}$. Αν η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x_o = 0$ με τιμή μηδέν και $f(1) + f(-1) = 3$, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f'$, του άξονα $x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $x = -1$ και $x = 1$.

Επειδή έχω κολλήσει σε αυτήν , μπορείτε να με βοηθήσετε;

Comments

Πού ακριβώς κόλησες?

---

Δεν μπορώ να σκεφτώ πως να βρω το ολοκλήρωμα αυτό. Ξέρω ότι $f'(0) = 0$ από θ. Fermat, ξέρω ότι $f(0) = 0$ αφού μας το λέει η άσκηση απλά δεν μπορώ να σκεφτώ το πρόσημο και πως να χρησιμοποιήσω τη σχέση που μου δίνει.. Μάλλον θα χρησιμοποιήσουμε το $f''(x) \gt 0$ απλά και πάλι κολλάω.

---

πολύ ωραίες παρατηρήσεις. Έφτασες στην πηγή και μένει να πιεις νερό.

Answer 1

Ζητάει το

$$\int_{-1}^{1}|f'(x)|dx$$

Επειδή η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x_0=0$ με $f(0)=0$, σύμφωνα με τον Fermat (αφού είναι εσωτερικό του $\mathbb{R}$, και η $f$ είναι παραγωγίσιμη) θα ισχύει $f'(0)=0$. Αφού η $f'$ είναι $\uparrow$ (αφού $f''>0$), τότε για $x<0$ θα είναι $f'(x)<0$ και για $x>0$ θα είναι $f'(x)>0$. Έτσι το ολοκλήρωμα γίνεται

$$\int_{-1}^{0}-f'(x)dx+\int_{0}^{1}f'(x)dx =-(f(0)-f(-1))+f(1)-f(0)=f(1)+f(-1)=3$$

Comments

Άρα αυτή τη σχέση την χρησιμοποιούμε για να βγάλουμε το τελικό αποτέλεσμα. Εγώ νόμιζα στην αρχή πως κάπως θα μας χρειαστεί στο πρόσημο.
Ευχαριστώ.