Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με δεύτερη παράγωγο συνεχή και ισχύουν:
- $f''(x) \ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$
- $f'(2) \gt 1$
- $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{\ln x} = 1$
α. Να βρείτε την εφ/νη της $C_f$ στο $x_0 = 1$.
β. Να δείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή.
γ. Να λύσετε την εξίσωση $f(x) + \ln ^4 x = x - 1$.
δ. Να αποδείξετε ότι $\int_1^2 \frac{f(x)}{x^2} dx \gt \ln 2 - \frac{1}{2}$.