0 ψήφοι
160 προβολές

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x-\ln(x-1)$ και $g(x)=\ln\frac{e^x}{x-1}$.

  1. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι ίσες.
  2. Αν $h(x)=e^x$, να βρείτε τη συνάρτηση $f\circ h$.
    Αν $φ(x)=f(h(x))=e^x-\ln(e^x-1)$.
  3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
  4. Να λύσετε στο διάστημα $(0,+\infty)$ την εξίσωση $x=\ln(1+e^{e^x-2})$.
ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 160 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  1. Για να είναι ίσες πρέπει να έχουν ίδιο Π.Ο. και ίδιο τύπο. Για το Π.Ο. έχουμε ότι $D_f={x\in \mathbb{R} : x\gt 1}$ ενώ $D_g={x\in \mathbb{R} : x\gt 1}$, δηλαδή ίσα. Για τον τύπο έχουμε $$f(x)=x-\ln(x-1)=\ln e^x-\ln(x-1)=\ln\frac{e^x}{x-1}=g(x)$$ άρα οι συναρτήσεις είναι ίσες.
  2. Θα πρέπει $x\in D_h\Rightarrow x\in\mathbb{R}$ και $h(x)\in D_f\Rightarrow e^x \gt 1\Rightarrow x\gt 0$
  3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $x\gt 0$ με $φ'(x)=e^x-\frac{e^x}{e^x-1}=e^x\frac{e^x-2}{e^x-1}$. Μόνο ο αριθμητής συμβάλει στο πρόσημο (αφού ο παρανομαστής είναι πάντα θετικός στο ΠΟ) και άρα η $φ$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,\ln2)$ και γνησίως αύξουσα στο $(\ln2, + \infty)$. Παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο $x=\ln2$ το $φ(\ln2)=2$.
  4. Η εξίσωση γράφεται ως $$e^x=1+e^{e^x-2}\Rightarrow \ln(e^x-1)=e^x-2\Rightarrow φ(x)=2$$ άρα $x=\ln 2$ αφού η $φ$ παίρνει την τιμή $2$ μόνο μία φορά, στο ολικό ελάχιστο.
απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες