Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=α\ln x+\frac{β}{x}$.
- Να βρείτε τις τιμές των $α$ και $β$ για τις οποίες το $Μ(1,1)$ είναι σημείο καμπής της $C_f$.
Αν $α=2$ και $β=1$, τότε:
- Να αποδείξετε ότι $f(x)+2\ln 2\ge 2$, για κάθε $x\gt 0$.
- Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο καμπής της.
- Να αποδείξετε ότι $f(x)\lt x$, για κάθε $x\gt 1$.