0 ψήφοι
102 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^4+4x$.

  1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα.
  2. Να δείξετε ότι $f'(x^2+1)\gt f'(x)$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$.
  3. Να βρείτε την εφαπτόμενη $ε$ της $C_f$ στο $x_0=1$.
  4. Να αποδείξετε ότι $f(x)\ge 8x-3$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$.
  5. Να υπολογίσετε το $\int_0^\frac{\pi}{2}συνxf(ημx)dx$.
ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 102 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  1. Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη 2 φορές ως πολυωνυμική, θα μελετήσουμε τη δεύτερη παράγωγο. Έχουμε
    $$f'(x)=4x^3+4$$
    και
    $$f''(x)=12x^2\ge 0$$
    άρα η $f$ είναι κυρτή.

  2. Η $f'(x)$ είναι γνησίως αύξουσα άρα μένει να δείξουμε ότι $x^2+1 \gt x$. Αλλά
    $$x^2+1 \gt x \Leftrightarrow x^2-x+1 \gt 0 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$$
    άρα και $f'(x^2+1)\gt f'(x)$

  3. Έχουμε $y-f(1)=f'(1)(x-1)$ και άρα $y-5=8(x-1)$ δηλαδή $y=8x-3$

  4. Εφόσον η συνάρτηση είναι κυρτή η $C_f$ βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτόμενή της, δηλαδή
    $$f(x)\ge y \Leftrightarrow f(x)\ge 8x-3$$
    με το "=" να ισχύει μόνο για $x=1$

  5. Θέτοντας $y=ημx$ έχουμε $dy=συνxdx$ και για $x=0 \Rightarrow y=0$ ενώ για $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1$, τότε
    $$\int_0^\frac{\pi}{2}συνxf(ημx)dx = \int_0^1f(y)dy = \left[ \frac{y^5}{5}+2y^2\right]_0^1 = \frac{11}{5}$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες