- Έχουμε
$$Δ=(λ+\frac{1}{λ})^2-4=λ^2+2+\frac{1}{λ^2}-4=λ^2-2+\frac{1}{λ^2}=(λ-\frac{1}{λ})^2$$
Και άρα ισχύει $Δ\ge 0$. Για να έχει 2 πραγματικές ρίζες και άνισες, θα πρέπει $Δ>0$ άρα $Δ\ne0$. Τότε
$$λ-\frac{1}{λ}=0\implies λ^2-1=0$$
δηλαδή $λ\ne -1$ και $λ\ne 1$.
Από Viette έχουμε $S=λ+\frac{1}{λ}$ και $P=1$, άρα προφανώς $x_1=λ$ και $x_2=\frac{1}{λ}$
Θα πρέπει $|x_1-x_2|=2λ\implies |λ-\frac{1}{λ}|=2λ$. Θα λύσουμε τις δύο εξισώσεις $λ-\frac{1}{λ}=2λ$ και $λ-\frac{1}{λ}=-2λ$, όπου θα πρέπει $λ\ge0$.
Για την πρώτη έχουμε $λ^2-1=2λ^2\implies λ^2+1=0$ που είναι αδύνατη.
Για την δεύτερη έχουμε $λ^2-1=-2λ^2\implies 3λ^2=1\implies λ=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. Χάρις το $λ\ge 0$ δεχόμαστε την $λ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- Έχουμε ότι $λ^2+2+\frac{1}{λ^2}=(λ+\frac{1}{λ})^2$ αρα η εξίσωση είναι η
$$2(x_1+x_2)^2-9\sqrt{(λ+\frac{1}{λ})^2}+10=0\implies 2(λ+\frac{1}{λ})-9|λ+\frac{1}{λ}|+10=0$$
Θέτουμε $|λ+\frac{1}{λ}|=ω$ και έχουμε την εξίσωση $2ω^2-9ω+10=0$ που έχει ρίζες τις $ω_1=2$ και $ω_2=\frac{5}{2}$. Έτσι θα λύσουμε τις εξισώσεις
$$λ+\frac{1}{λ}=2\implies λ^2-2λ+1=0\implies (λ-1)^2=0\implies λ=1$$
η οποία απορίπτεται γιατί από το 1. έχουμε $λ\ne 1$ και
$$λ+\frac{1}{λ}=\frac{5}{2}\implies 2λ^2-5λ+2=0$$
με λύσεις τις $λ_1=2$ και $λ_2=\frac{1}{2}$