Παραμετρική 2βάθμια

Question

Θεωρούμε την εξίσωση $x^2-(λ+\frac{1}{λ})x+1=0$, $λ\ne 0$ με παράμετρο $λ$

1. Να βρείτε τις τιμές του $λ$, για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
2. Να βρείτε τις ρίζες $x_1$, $x_2$ της εξίσωσης
3. Να βρείτε τις τιμές του $λ$ για τις οποίες η απόσταση των ριζών της είναι $2λ$
4. Να βρείτε το $λ$, ώστε να ισχύει $2(x_1+x_2)^2-9\sqrt{λ^2+\frac{1}{λ^2}+2}=-10$

Answer 1

1. Έχουμε

$$Δ=(λ+\frac{1}{λ})^2-4=λ^2+2+\frac{1}{λ^2}-4=λ^2-2+\frac{1}{λ^2}=(λ-\frac{1}{λ})^2$$

Και άρα ισχύει $Δ\ge 0$. Για να έχει 2 πραγματικές ρίζες και άνισες, θα πρέπει $Δ>0$ άρα $Δ\ne0$. Τότε

$$λ-\frac{1}{λ}=0\implies λ^2-1=0$$

δηλαδή $λ\ne -1$ και $λ\ne 1$.

1. Από Viette έχουμε $S=λ+\frac{1}{λ}$ και $P=1$, άρα προφανώς $x_1=λ$ και $x_2=\frac{1}{λ}$

2. Θα πρέπει $|x_1-x_2|=2λ\implies |λ-\frac{1}{λ}|=2λ$. Θα λύσουμε τις δύο εξισώσεις $λ-\frac{1}{λ}=2λ$ και $λ-\frac{1}{λ}=-2λ$, όπου θα πρέπει $λ\ge0$.

Για την πρώτη έχουμε $λ^2-1=2λ^2\implies λ^2+1=0$ που είναι αδύνατη.

Για την δεύτερη έχουμε $λ^2-1=-2λ^2\implies 3λ^2=1\implies λ=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. Χάρις το $λ\ge 0$ δεχόμαστε την $λ=\frac{1}{\sqrt{3}}$

1. Έχουμε ότι $λ^2+2+\frac{1}{λ^2}=(λ+\frac{1}{λ})^2$ αρα η εξίσωση είναι η

$$2(x_1+x_2)^2-9\sqrt{(λ+\frac{1}{λ})^2}+10=0\implies 2(λ+\frac{1}{λ})-9|λ+\frac{1}{λ}|+10=0$$

Θέτουμε $|λ+\frac{1}{λ}|=ω$ και έχουμε την εξίσωση $2ω^2-9ω+10=0$ που έχει ρίζες τις $ω_1=2$ και $ω_2=\frac{5}{2}$. Έτσι θα λύσουμε τις εξισώσεις

$$λ+\frac{1}{λ}=2\implies λ^2-2λ+1=0\implies (λ-1)^2=0\implies λ=1$$

η οποία απορίπτεται γιατί από το 1. έχουμε $λ\ne 1$ και

$$λ+\frac{1}{λ}=\frac{5}{2}\implies 2λ^2-5λ+2=0$$

με λύσεις τις $λ_1=2$ και $λ_2=\frac{1}{2}$