0 ψήφοι
177 προβολές

Θεωρούμε την εξίσωση $x^2-(λ+\frac{1}{λ})x+1=0$, $λ\ne 0$ με παράμετρο $λ$

  1. Να βρείτε τις τιμές του $λ$, για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
  2. Να βρείτε τις ρίζες $x_1$, $x_2$ της εξίσωσης
  3. Να βρείτε τις τιμές του $λ$ για τις οποίες η απόσταση των ριζών της είναι $2λ$
  4. Να βρείτε το $λ$, ώστε να ισχύει $2(x_1+x_2)^2-9\sqrt{λ^2+\frac{1}{λ^2}+2}=-10$
ερωτήθηκε σε Α Λυκείου από τον/την | 177 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  1. Έχουμε

$$Δ=(λ+\frac{1}{λ})^2-4=λ^2+2+\frac{1}{λ^2}-4=λ^2-2+\frac{1}{λ^2}=(λ-\frac{1}{λ})^2$$

Και άρα ισχύει $Δ\ge 0$. Για να έχει 2 πραγματικές ρίζες και άνισες, θα πρέπει $Δ>0$ άρα $Δ\ne0$. Τότε

$$λ-\frac{1}{λ}=0\implies λ^2-1=0$$

δηλαδή $λ\ne -1$ και $λ\ne 1$.

  1. Από Viette έχουμε $S=λ+\frac{1}{λ}$ και $P=1$, άρα προφανώς $x_1=λ$ και $x_2=\frac{1}{λ}$

  2. Θα πρέπει $|x_1-x_2|=2λ\implies |λ-\frac{1}{λ}|=2λ$. Θα λύσουμε τις δύο εξισώσεις $λ-\frac{1}{λ}=2λ$ και $λ-\frac{1}{λ}=-2λ$, όπου θα πρέπει $λ\ge0$.

Για την πρώτη έχουμε $λ^2-1=2λ^2\implies λ^2+1=0$ που είναι αδύνατη.

Για την δεύτερη έχουμε $λ^2-1=-2λ^2\implies 3λ^2=1\implies λ=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. Χάρις το $λ\ge 0$ δεχόμαστε την $λ=\frac{1}{\sqrt{3}}$

  1. Έχουμε ότι $λ^2+2+\frac{1}{λ^2}=(λ+\frac{1}{λ})^2$ αρα η εξίσωση είναι η

$$2(x_1+x_2)^2-9\sqrt{(λ+\frac{1}{λ})^2}+10=0\implies 2(λ+\frac{1}{λ})-9|λ+\frac{1}{λ}|+10=0$$

Θέτουμε $|λ+\frac{1}{λ}|=ω$ και έχουμε την εξίσωση $2ω^2-9ω+10=0$ που έχει ρίζες τις $ω_1=2$ και $ω_2=\frac{5}{2}$. Έτσι θα λύσουμε τις εξισώσεις

$$λ+\frac{1}{λ}=2\implies λ^2-2λ+1=0\implies (λ-1)^2=0\implies λ=1$$

η οποία απορίπτεται γιατί από το 1. έχουμε $λ\ne 1$ και

$$λ+\frac{1}{λ}=\frac{5}{2}\implies 2λ^2-5λ+2=0$$

με λύσεις τις $λ_1=2$ και $λ_2=\frac{1}{2}$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες