0 ψήφοι
105 προβολές

Θέμα Β
Θεωρούμε την εξίσωση $x^2-3λx+λ^2=0$ με παράμετρο $λ$

  1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε $λ\in \mathbb{R}$
  2. Έστω $x_1$, $x_2$ οι ρίζες τις εξίσωσης. Να βρείτε τις τιμές του $λ$ για τις οποίες ισχύει

i. $x_1^2x_2+x_1x_2^2=-6$
ii. $x_1x_2-|x_1+x_2|=4$
iii. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$

ερωτήθηκε σε Α Λυκείου από τον/την | 105 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  1. Για να έχει πραγματικές ρίζες θα πρέπει $Δ\ge 0$. Έχουμε
    $$Δ=(-3λ)^2-4λ^2=9λ^2-4λ^2=5λ^2\ge 0$$

  2. Εχουμε $x_1+x_2=3λ$ και $x_1x_2=λ^2$

i) $x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=λ^2\cdot 3λ=3λ^3$

άρα $3λ^3=-6\implies λ^3=-2\implies λ=-\sqrt[3]{2}$

ii) $x_1x_2-|x_1+x_2|=4\implies λ^2-|3λ|=4\implies λ^2-3|λ|-4=0$

Θέτω $|λ|=ω$ και έχουμε

$$ω=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}$$

Αρα $ω_1=4\implies |λ|=4\implies λ=\pm4$ ή $ω_2=-1$ που απορίπτεται!

iii) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3λ}{λ^2}$

Άρα θα λύσουμε την εξίσωση $\frac{3λ}{λ^2}=1\implies λ^2-3λ=0\implies λ(λ-3)=0$, όπου το $λ=0$ απορίπτεται. Άρα $λ=3$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες