Για να έχει πραγματικές ρίζες θα πρέπει $Δ\ge 0$. Έχουμε
$$Δ=(-3λ)^2-4λ^2=9λ^2-4λ^2=5λ^2\ge 0$$
Εχουμε $x_1+x_2=3λ$ και $x_1x_2=λ^2$
i) $x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=λ^2\cdot 3λ=3λ^3$
άρα $3λ^3=-6\implies λ^3=-2\implies λ=-\sqrt[3]{2}$
ii) $x_1x_2-|x_1+x_2|=4\implies λ^2-|3λ|=4\implies λ^2-3|λ|-4=0$
Θέτω $|λ|=ω$ και έχουμε
$$ω=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}$$
Αρα $ω_1=4\implies |λ|=4\implies λ=\pm4$ ή $ω_2=-1$ που απορίπτεται!
iii) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3λ}{λ^2}$
Άρα θα λύσουμε την εξίσωση $\frac{3λ}{λ^2}=1\implies λ^2-3λ=0\implies λ(λ-3)=0$, όπου το $λ=0$ απορίπτεται. Άρα $λ=3$