Παραμετρική 2βάθμια

Question

Θέμα Β
Θεωρούμε την εξίσωση $x^2-3λx+λ^2=0$ με παράμετρο $λ$

1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε $λ\in \mathbb{R}$
2. Έστω $x_1$, $x_2$ οι ρίζες τις εξίσωσης. Να βρείτε τις τιμές του $λ$ για τις οποίες ισχύει

i. $x_1^2x_2+x_1x_2^2=-6$
ii. $x_1x_2-|x_1+x_2|=4$
iii. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$

Answer 1

1. Για να έχει πραγματικές ρίζες θα πρέπει $Δ\ge 0$. Έχουμε
   $$Δ=(-3λ)^2-4λ^2=9λ^2-4λ^2=5λ^2\ge 0$$

2. Εχουμε $x_1+x_2=3λ$ και $x_1x_2=λ^2$

i) $x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=λ^2\cdot 3λ=3λ^3$

άρα $3λ^3=-6\implies λ^3=-2\implies λ=-\sqrt[3]{2}$

ii) $x_1x_2-|x_1+x_2|=4\implies λ^2-|3λ|=4\implies λ^2-3|λ|-4=0$

Θέτω $|λ|=ω$ και έχουμε

$$ω=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}$$

Αρα $ω_1=4\implies |λ|=4\implies λ=\pm4$ ή $ω_2=-1$ που απορίπτεται!

iii) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3λ}{λ^2}$

Άρα θα λύσουμε την εξίσωση $\frac{3λ}{λ^2}=1\implies λ^2-3λ=0\implies λ(λ-3)=0$, όπου το $λ=0$ απορίπτεται. Άρα $λ=3$