Βρείτε το όριο της παρακάτω ακολουθίας.

Question

$a_n=\sqrt[n]{1+2^n}$

Answer 1

$2^n\lt1+2^n\lt2^n+2^n=2•2^n$
$\sqrt[n]{2^n}\lt\sqrt[n]{1+2^n}\lt\sqrt[n]{2•2^n}$
$2\lt a_n\lt2•\sqrt[n]{2}$
Όταν το n τείνει στο άπειρο τότε το $2$ τείνει στο $2$ και το $2•\sqrt[n]{2}$
τείνει στο $2•1=2$
Άρα από κριτήριο εγκλωβισμού (κριτήριο παρεμβολής) έχουμε ότι η $a_n$ τείνει στο $2$ όταν το
$n$ τείνει στο άπειρο

Comments

Σημείωση: Το $\sqrt[n]{2}$ τείνει στο $1$ από γνωστή πρόταση:
Όταν $a\in R$ , $a>0$ και $a_n=\sqrt[n]{a}$, τότε $a_n$ τείνει στο $1$.