Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση.
- Αν $1\lt f(x)\lt e$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$.
Με Bolzano στην $g(x)=f(x)-e^x$ στο $[0,1]$. Έχουμε $g$ συνεχής στο κλειστό ως πράξεις συνεχών. $g(0)=f(0)-1>0$ και $g(1)=f(1)-e<0$.
- Αν $f(0)\gt 1$ και $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x+x ημ\frac{1}{x}$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα.
Με Bolzano στην $h(x)=f(x)-e^x-x ημ\frac{1}{x}$ στο $[a,b]$ όπου $a$ κοντά στο $0$ και $b$ αρκετά μεγάλο. Μένει να υπολογίσουμε τα όρια στο 0 και στο $+\infty$ της $g$. Έχουμε
$$\lim_{x\to 0}x ημ\frac{1}{x}=0$$
αφού
$$-1\le ημ\frac{1}{x}\le 1 \Rightarrow -x \le x ημ\frac{1}{x} \le x$$
για $x>0$. Και τα δύο πλευρικά όρια τείνουν στο 0. Τώρα για το όριο $\lim_{x\to 0}g(x)=f(0)-1-0>0$. Έτσι υπάρχει $a$ κοντά στο $0$ με $f(a)>0$. Ομοίως για το όριο στο $+\infty$ και γνωρίζοντας ότι με αλλαγή μεταβλητής $y=\frac{1}{x}$
$$\lim_{x\to +\infty}x ημ\frac{1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{ημy}{y}=1$$
Έτσι $\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty-\infty-1=-\infty$. Άρα υπάρχει $b$ αρκετά μεγάλο ώστε $f(b)<0$ Έτσι στο $(a,b)$ υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα.
Αν $f(a)+f(3a)=4a$, $a>0$ και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι η εξίσωση $\frac{f(x)-a}{x-3a}=\frac{f(x)-3a}{x-a}$, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(a,3a)$.
Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση $g:[1,3]\to \mathbb{R}$ με $g(x)=f(x)-x$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in [1,3]$, ώστε $$g(x_0)=\frac{f(1)+2f(2)+3f(3)}{6}-\frac{7}{3}$$