0 ψήφοι
327 προβολές

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση.

  • Αν $1\lt f(x)\lt e$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$.

  • Αν $f(0)\gt 1$ και $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x+x ημ\frac{1}{x}$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα.

  • Αν $f(a)+f(3a)=4a$, $a>0$ και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι η εξίσωση $\frac{f(x)-a}{x-3a}=\frac{f(x)-3a}{x-a}$, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(a,3a)$.

  • Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση $g:[1,3]\to \mathbb{R}$ με $g(x)=f(x)-x$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in [1,3]$, ώστε $$g(x_0)=\frac{f(1)+2f(2)+3f(3)}{6}-\frac{7}{3}$$

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 327 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση.

  • Αν $1\lt f(x)\lt e$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$.

Με Bolzano στην $g(x)=f(x)-e^x$ στο $[0,1]$. Έχουμε $g$ συνεχής στο κλειστό ως πράξεις συνεχών. $g(0)=f(0)-1>0$ και $g(1)=f(1)-e<0$.

  • Αν $f(0)\gt 1$ και $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=e^x+x ημ\frac{1}{x}$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα.

Με Bolzano στην $h(x)=f(x)-e^x-x ημ\frac{1}{x}$ στο $[a,b]$ όπου $a$ κοντά στο $0$ και $b$ αρκετά μεγάλο. Μένει να υπολογίσουμε τα όρια στο 0 και στο $+\infty$ της $g$. Έχουμε

$$\lim_{x\to 0}x ημ\frac{1}{x}=0$$

αφού

$$-1\le ημ\frac{1}{x}\le 1 \Rightarrow -x \le x ημ\frac{1}{x} \le x$$

για $x>0$. Και τα δύο πλευρικά όρια τείνουν στο 0. Τώρα για το όριο $\lim_{x\to 0}g(x)=f(0)-1-0>0$. Έτσι υπάρχει $a$ κοντά στο $0$ με $f(a)>0$. Ομοίως για το όριο στο $+\infty$ και γνωρίζοντας ότι με αλλαγή μεταβλητής $y=\frac{1}{x}$

$$\lim_{x\to +\infty}x ημ\frac{1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{ημy}{y}=1$$

Έτσι $\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty-\infty-1=-\infty$. Άρα υπάρχει $b$ αρκετά μεγάλο ώστε $f(b)<0$ Έτσι στο $(a,b)$ υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα.

  • Αν $f(a)+f(3a)=4a$, $a>0$ και η $f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι η εξίσωση $\frac{f(x)-a}{x-3a}=\frac{f(x)-3a}{x-a}$, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(a,3a)$.

  • Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση $g:[1,3]\to \mathbb{R}$ με $g(x)=f(x)-x$. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in [1,3]$, ώστε $$g(x_0)=\frac{f(1)+2f(2)+3f(3)}{6}-\frac{7}{3}$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες