Θέμα Α επαναληπτικό στο Bolzano

Question

Δίνεται η συνάρτηση $f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}$ με $f(x)=e^x-\frac{x+1}{x-1}$.

• Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ γράφεται στη μορφή $f(x)=e^x-\frac{2}{x-1}-1$ και στη συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα.

• Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

• Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει μία ακριβώς ρίζα $x_0$ στο διάστημα $(1,2)$.

• Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x=\frac{x+1}{x-1}$ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες αντίθετες.

Answer 1

• Με πράξεις έχουμε

  $$f(x)=e^x-\frac{x+1}{x-1}=f(x)=e^x-\frac{x-1+2}{x-1}=\\ e^x-\frac{x-1}{x-1}-\frac{2}{x-1}=e^x-\frac{2}{x-1}-1$$.

  Επίσης έστω $x_1<x_2$. Έτσι $e^{x_1}<e^{x_2}$, $-\frac{2}{x_1-1}<-\frac{2}{x_1-1}$ μιας και η $\frac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα και με πρόσθεση κατά μέλη

$$e^{x_1}-\frac{2}{x_1-1}-1<e^{x_2}-\frac{2}{x_2-1}-1\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$

• Ως γνησίως αύξουσα είναι και 1-1, με πεδίο ορισμού της αντίστροφης να είναι το σύνολο τιμών της $f$. Η $f$ ως γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(1,+\infty)$ θα έχει σύνολο τιμών το $(\lim_{x\to 1}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x))=(-\infty,\infty)$

• Δείξαμε ότι $\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty$ άρα υπάρχει $a$ κοντά στο $0$ με $f(a)<0$. Επειδή $f(2)=e^2-3>0$, με Bolzano στο $[a,2]$ έχουμε ότι υπάρχει ρίζα και στο $(1,2)$.

• Μόλις δείξαμε ότι υπάρχει ρίζα στο $(1,2)$ για την $f(x)$ έστω την $x_0$. Δηλαδή ισχύει $\frac{1}{e^{x_0}}=\frac{x_0-1}{x_0+1}$. Θα δείξουμε ότι και η $-x_0$ είναι ρίζα της. Έχουμε

  $$f(-x_0)=e^{-x_0}-\frac{-x_0+1}{-x_0-1}=\frac{1}{e^{x_0}}-\frac{x_0-1}{x_0+1}=0$$