0 ψήφοι
209 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}$ με $f(x)=e^x-\frac{x+1}{x-1}$.

  • Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ γράφεται στη μορφή $f(x)=e^x-\frac{2}{x-1}-1$ και στη συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα.

  • Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

  • Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει μία ακριβώς ρίζα $x_0$ στο διάστημα $(1,2)$.

  • Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x=\frac{x+1}{x-1}$ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες αντίθετες.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 209 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  • Με πράξεις έχουμε

    $$f(x)=e^x-\frac{x+1}{x-1}=f(x)=e^x-\frac{x-1+2}{x-1}=\\ e^x-\frac{x-1}{x-1}-\frac{2}{x-1}=e^x-\frac{2}{x-1}-1$$.

    Επίσης έστω $x_1<x_2$. Έτσι $e^{x_1}<e^{x_2}$, $-\frac{2}{x_1-1}<-\frac{2}{x_1-1}$ μιας και η $\frac{1}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα και με πρόσθεση κατά μέλη

$$e^{x_1}-\frac{2}{x_1-1}-1<e^{x_2}-\frac{2}{x_2-1}-1\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$

  • Ως γνησίως αύξουσα είναι και 1-1, με πεδίο ορισμού της αντίστροφης να είναι το σύνολο τιμών της $f$. Η $f$ ως γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(1,+\infty)$ θα έχει σύνολο τιμών το $(\lim_{x\to 1}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x))=(-\infty,\infty)$

  • Δείξαμε ότι $\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty$ άρα υπάρχει $a$ κοντά στο $0$ με $f(a)<0$. Επειδή $f(2)=e^2-3>0$, με Bolzano στο $[a,2]$ έχουμε ότι υπάρχει ρίζα και στο $(1,2)$.

  • Μόλις δείξαμε ότι υπάρχει ρίζα στο $(1,2)$ για την $f(x)$ έστω την $x_0$. Δηλαδή ισχύει $\frac{1}{e^{x_0}}=\frac{x_0-1}{x_0+1}$. Θα δείξουμε ότι και η $-x_0$ είναι ρίζα της. Έχουμε

    $$f(-x_0)=e^{-x_0}-\frac{-x_0+1}{-x_0-1}=\frac{1}{e^{x_0}}-\frac{x_0-1}{x_0+1}=0$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες