Θέμα Β Πανελλαδικές 2019

Question

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=e^{-x}+λ$, όπου $λ\in\mathbb{R}$, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την $y=2$.

1. Να αποδείξετε ότι $λ=2$.

2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)-x$ έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(2,3)$.

3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ και στη συνέχεια
   να βρείτε την αντίστροφή της.

4. Έστω $f^{-1}(x)=-\ln(x-2)$, $x>2$. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης και στη συνέχεια να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Answer 1

1. Αφού η $y=2$ είναι η οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ τότε θα ισχύει
   $$\lim{x\to+\infty}f(x)=2\iff \lim{x\to+\infty}e^{-x}+λ=2 \iff 0+λ=2 \iff λ=2$$
2. Με Bolzano θεωρώντας την συνέρτηση $g(x)=f(x)-x$ στο $[2,3]$ έχουμε:
   • $g$ συνεχής στο $[2,3]$
   • $g(2)\cdot g(3)=(e^{-2}+2-2)(e^{-3}+2-3)=e^{-2}(e^{-3}-1)<0$
     και άρα η συνάρτηση $g$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(2,3)$. Για την μοναδικότητα θα δείξουμε ότι η $g$ είναι $1-1$. Η $g$ είναι παραγωγίσιμη με
     $$g'(x)=-e^{-x}-1<0$$
     και άρα είναι γνησίως φθίνουσα και συνεπώς και $1-1$. Δηλαδή η ρίζα είναι μοναδική.
3. Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη με $f(x)=-e^{-x}<0$ συνεπώς είναι γνησίως φθίνουσα και άρα $1-1$. Δηλαδή είναι αντιστρέψιμη. Έχουμε
   $$y=e^{-x}+2\iff e^{-x}=y-2 \iff -x=\ln(y-2) \iff x=-\ln(y-2)$$
   Τα προηγούμενα ισχύουν μόνο αν $y>2$ αφού $e^{-x}>0$. Έτσι $f^{-1}(x)=-\ln (x-2)$, $x>2$.
4. Ισχύει ότι $$\lim_{x\to\2}f(x)=+\infty$$ δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι η $x=2$. Και οι δύο γραφικές παραστάσεις προκύπτουν από βασικές συναρτήσεις είτε με μετατόπιση είτε με συμμετρία