0 ψήφοι
95 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=e^{-x}+λ$, όπου $λ\in\mathbb{R}$, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την $y=2$.

  1. Να αποδείξετε ότι $λ=2$.

  2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)-x$ έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα $(2,3)$.

  3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1-1$ και στη συνέχεια
    να βρείτε την αντίστροφή της.

  4. Έστω $f^{-1}(x)=-\ln(x-2)$, $x>2$. Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης και στη συνέχεια να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 95 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι
  1. Αφού η $y=2$ είναι η οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ τότε θα ισχύει
    $$\lim{x\to+\infty}f(x)=2\iff \lim{x\to+\infty}e^{-x}+λ=2 \iff 0+λ=2 \iff λ=2$$
  2. Με Bolzano θεωρώντας την συνέρτηση $g(x)=f(x)-x$ στο $[2,3]$ έχουμε:
    • $g$ συνεχής στο $[2,3]$
    • $g(2)\cdot g(3)=(e^{-2}+2-2)(e^{-3}+2-3)=e^{-2}(e^{-3}-1)<0$
      και άρα η συνάρτηση $g$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(2,3)$. Για την μοναδικότητα θα δείξουμε ότι η $g$ είναι $1-1$. Η $g$ είναι παραγωγίσιμη με
      $$g'(x)=-e^{-x}-1<0$$
      και άρα είναι γνησίως φθίνουσα και συνεπώς και $1-1$. Δηλαδή η ρίζα είναι μοναδική.
  3. Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη με $f(x)=-e^{-x}<0$ συνεπώς είναι γνησίως φθίνουσα και άρα $1-1$. Δηλαδή είναι αντιστρέψιμη. Έχουμε
    $$y=e^{-x}+2\iff e^{-x}=y-2 \iff -x=\ln(y-2) \iff x=-\ln(y-2)$$
    Τα προηγούμενα ισχύουν μόνο αν $y>2$ αφού $e^{-x}>0$. Έτσι $f^{-1}(x)=-\ln (x-2)$, $x>2$.
  4. Ισχύει ότι $$\lim_{x\to\2}f(x)=+\infty$$ δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι η $x=2$. Και οι δύο γραφικές παραστάσεις προκύπτουν από βασικές συναρτήσεις είτε με μετατόπιση είτε με συμμετρία
απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες