Πρέπει να σπάσεις το κλάσμα σε απλά κλάσματα. Τότε έχεις$$\frac{2s^2+9s+5}{(s+3)(s^2+3s+2)}=-\frac{1}{s+1}+\frac{5}{s+2}-\frac{2}{s+3}$$
Το καθένα από τα δεξιά κλάσματα έχει γνωστό και απλό αντίστροφο μετασχηματισμό. Έτσι $$ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{3s^2+9s+5}{(s+3)(s^2+3s+2)} \right\} = -e^{-t} + 5e^{-2t} -2e^{-3t} $$