Θέμα Γ2 Πανελλαδικές

Question

Έστω $Π$ η περίμετρος τετραγώνου πλευράς $α$, και $L$ το μήκος κύκλου με ακτίνα $ρ$. Να δειχθεί ότι αν $Π+L=8$ το εμβαδό των δύο σχημάτων γίνεται ελάχιστο όταν $α=2ρ$.

Answer 1

Θα ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση $E(α,ρ)=α^2+πρ^2$ με περιορισμό

$$Π+L=8\Rightarrow 4α+2πρ=8\Rightarrow 2α+πρ=4$$

Εφόσον το σύνολο είναι ανοιχτό, τα ακρότατα αν υπάρχουν βρίσκονται στο εσωτερικό της περιοχής $0<α<2$ και $0<ρ<\frac{4}{π}$.

Έχουμε

$$E(α,ρ,λ)=α^2+πρ^2-λ(2α+πρ-4)$$

Θα λύσουμε το σύστημα

$$
\begin{cases}
2α-2λ=0 \\ 2πρ-λπ=0 \\ 2α+πρ=4
\end{cases}
$$

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε $α=2ρ=λ$, και αντικαθιστώντας στη τρίτη $(α,ρ,λ)=(\frac{8}{π+4},\frac{4}{π+4},\frac{8}{π+4})$.

Ο πίνακας Hess είναι ο

$$\begin{pmatrix}
0 & -2 & -π \\ -2 & 2 & 0 \\ -π & 0 & 2π
\end{pmatrix}$$

Με ορίζουσα $2(-4π)-π(2π)<0$, άρα έχουμε ελάχιστο.