Θα ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση $E(α,ρ)=α^2+πρ^2$ με περιορισμό
$$Π+L=8\Rightarrow 4α+2πρ=8\Rightarrow 2α+πρ=4$$
Εφόσον το σύνολο είναι ανοιχτό, τα ακρότατα αν υπάρχουν βρίσκονται στο εσωτερικό της περιοχής $0<α<2$ και $0<ρ<\frac{4}{π}$.
Έχουμε
$$E(α,ρ,λ)=α^2+πρ^2-λ(2α+πρ-4)$$
Θα λύσουμε το σύστημα
$$
\begin{cases}
2α-2λ=0 \\ 2πρ-λπ=0 \\ 2α+πρ=4
\end{cases}
$$
Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε $α=2ρ=λ$, και αντικαθιστώντας στη τρίτη $(α,ρ,λ)=(\frac{8}{π+4},\frac{4}{π+4},\frac{8}{π+4})$.
Ο πίνακας Hess είναι ο
$$\begin{pmatrix}
0 & -2 & -π \\ -2 & 2 & 0 \\ -π & 0 & 2π
\end{pmatrix}$$
Με ορίζουσα $2(-4π)-π(2π)<0$, άρα έχουμε ελάχιστο.