0 ψήφοι
106 προβολές

Έστω $Π$ η περίμετρος τετραγώνου πλευράς $α$, και $L$ το μήκος κύκλου με ακτίνα $ρ$. Να δειχθεί ότι αν $Π+L=8$ το εμβαδό των δύο σχημάτων γίνεται ελάχιστο όταν $α=2ρ$.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 106 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Θα ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση $E(α,ρ)=α^2+πρ^2$ με περιορισμό

$$Π+L=8\Rightarrow 4α+2πρ=8\Rightarrow 2α+πρ=4$$

Εφόσον το σύνολο είναι ανοιχτό, τα ακρότατα αν υπάρχουν βρίσκονται στο εσωτερικό της περιοχής $0<α<2$ και $0<ρ<\frac{4}{π}$.

Έχουμε

$$E(α,ρ,λ)=α^2+πρ^2-λ(2α+πρ-4)$$

Θα λύσουμε το σύστημα

$$
\begin{cases}
2α-2λ=0 \\ 2πρ-λπ=0 \\ 2α+πρ=4
\end{cases}
$$

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε $α=2ρ=λ$, και αντικαθιστώντας στη τρίτη $(α,ρ,λ)=(\frac{8}{π+4},\frac{4}{π+4},\frac{8}{π+4})$.

Ο πίνακας Hess είναι ο

$$\begin{pmatrix}
0 & -2 & -π \\ -2 & 2 & 0 \\ -π & 0 & 2π
\end{pmatrix}$$

Με ορίζουσα $2(-4π)-π(2π)<0$, άρα έχουμε ελάχιστο.

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες