Άσκηση στις ανισώσεις τριωνύμων

Question

Δίνεται το τριώνυμο $P(x)=x^2-2(λ-1)x-2λ+2$

1. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης $P(x)=0$ είναι η $Δ=4λ^2-4$.

2. Να δείξετε ότι η εξίσωση $P(x)=0$ έχει πραγματικές ρίζες για $λ\in \left(-\infty,-1\right] \cup \left[1,\infty\right)$.

3. Αν $x_1$, $x_2$ οι δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $P(x)=0$ να βρείτε τις τιμές του $λ$ ώστε $x_1^2x_2+x_1x_2^2<-4$.

4. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης $2,95641^2-2(2-1)2,95641-2+2$.

Answer 1

1. $$Δ=(-2(λ-1))^2-4(-2λ+2)=4(λ-1)^2+8λ-8=\ldots=4λ^2-4$$

2. $$Δ\ge 0 \Rightarrow 4λ^2-4\ge 0$$ και με πινακάκι $λ\in \left(-\infty,-1\right] \cup \left[1,\infty\right)$

3. $$x_1^2x_2+x_1x_2^2<-4 \Rightarrow x_1x_2(x_1+x_2)<-4 \Rightarrow P\cdot S<-4 \Rightarrow \\ (-2λ+2)(2(λ-1))<-4$$ και με πράξεις $$λ^2-2λ>0$$ και με πινακάκι $λ<0$ ή $λ>2$.

4. η παράσταση $$x^2-2x$$ είναι θετική για $x>2$ και $x<0$. Αφού το $2,95641>2$ η παράσταση είναι θετική.