0 ψήφοι
124 προβολές

Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο $Δ$ και 1-1, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 124 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Γνωρίζουμε ότι η εικόνα ενός διαστήματος $Δ$ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι πάλι διάστημα, έστω το $f(Δ)$. Έστω λοιπόν $α\in Δ$ με $f(α)=β\in f(Δ)$. Θα δείξουμε ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $β$ με $\lim_{x\to β}f^{-1}(x)=α=f^{-1}(β)$

Γνωρίζουμε ότι $f^{-1}\left( f(x)\right)=x$ για κάθε $x\in Δ$. Αφού η $x$ είναι συνεχής, τότε

$$\lim_{x\to α}f^{-1}(f(x))=\lim_{x\to α}x=α=f^{-1}(β)$$

Για $f(x)=y$, έχουμε $x\to α \Rightarrow y\to β$ (αφού $lim_{x\to α}f(x)=f(α)$ ως συνεχής στο $α\in Δ$), συνεπώς

$$\lim_{y\to β}f^{-1}(y)=f^{-1}(β)$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες