Γνωρίζουμε ότι η εικόνα ενός διαστήματος $Δ$ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι πάλι διάστημα, έστω το $f(Δ)$. Έστω λοιπόν $α\in Δ$ με $f(α)=β\in f(Δ)$. Θα δείξουμε ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $β$ με $\lim_{x\to β}f^{-1}(x)=α=f^{-1}(β)$
Γνωρίζουμε ότι $f^{-1}\left( f(x)\right)=x$ για κάθε $x\in Δ$. Αφού η $x$ είναι συνεχής, τότε
$$\lim_{x\to α}f^{-1}(f(x))=\lim_{x\to α}x=α=f^{-1}(β)$$
Για $f(x)=y$, έχουμε $x\to α \Rightarrow y\to β$ (αφού $lim_{x\to α}f(x)=f(α)$ ως συνεχής στο $α\in Δ$), συνεπώς
$$\lim_{y\to β}f^{-1}(y)=f^{-1}(β)$$