0 ψήφοι
260 προβολές

Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι κυρτή και έχει ασύμπτωτη την $y=ax+b$ τότε γραφικά η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από την $y$.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 260 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Θα αποδειχθεί ότι $$f(x)>y=ax+b$$ για κάθε $x$. Έστω συνάρτηση $$g(x)=f(x)-ax-b.$$

Η $g$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $g'(x)=f'(x)-a$. Η $f$ είναι κυρτή, συνεπώς η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα, έτσι και η $g'$ είναι γνησίως αύξουσα.

Επίσης
$$a=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$$
άρα συμφωνα με τον L'Hospital κανόνα θα ισχύει και
$$a=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{1}=\lim_{x\to \infty} f'(x)$$
Τώρα λοιπόν
$$\lim_{x\to \infty} g'(x)=0$$
και αφού η $g'$ είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει και $g'(x)<0$. Με άλλα λόγια η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης $$\lim_{x\to \infty} f(x)-ax-b=0$$ άρα $g(x)>0 \Rightarrow f(x)>y$

Edit:
Αν τώρα $\lim_{x\to \infty}f(x)=k$ τότε δεν μπορούμε να πάρουμε κανόνα L'Hospital. Τότε σύμφωνα με το ΘΜΤ στο διάστημα $(x,x+1)$ θα υπάρχει $ξ\in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε
$$f'(ξ)=f(x+1)-f(x)$$
Αλλά το δεξί μέλος τείνει στο $k-k=0$ και άρα και $\lim_{x\to \infty}f'(ξ)=0$ και αφού $ξ>x$ θα ισχύει και $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$. Έτσι και πάλι $$\lim_{x\to \infty} g'(x)=0$$ και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο...

απαντήθηκε από τον/την
επεξεργάσθηκε από τον/την

Ο φίλος μου ο Μάριος, υπέδειξε ότι δεν μελετήθηκε η περίπτωση που $\lim_{x\to \infty}f(x)=k\in\mathbb{R}$. Το παρέλειψα από ότι φαίνεται, αλλά θα απαντήσω σύντομα.

Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες