Θα αποδειχθεί ότι $$f(x)>y=ax+b$$ για κάθε $x$. Έστω συνάρτηση $$g(x)=f(x)-ax-b.$$
Η $g$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $g'(x)=f'(x)-a$. Η $f$ είναι κυρτή, συνεπώς η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα, έτσι και η $g'$ είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης
$$a=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$$
άρα συμφωνα με τον L'Hospital κανόνα θα ισχύει και
$$a=\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{1}=\lim_{x\to \infty} f'(x)$$
Τώρα λοιπόν
$$\lim_{x\to \infty} g'(x)=0$$
και αφού η $g'$ είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει και $g'(x)<0$. Με άλλα λόγια η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης $$\lim_{x\to \infty} f(x)-ax-b=0$$ άρα $g(x)>0 \Rightarrow f(x)>y$
Edit:
Αν τώρα $\lim_{x\to \infty}f(x)=k$ τότε δεν μπορούμε να πάρουμε κανόνα L'Hospital. Τότε σύμφωνα με το ΘΜΤ στο διάστημα $(x,x+1)$ θα υπάρχει $ξ\in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε
$$f'(ξ)=f(x+1)-f(x)$$
Αλλά το δεξί μέλος τείνει στο $k-k=0$ και άρα και $\lim_{x\to \infty}f'(ξ)=0$ και αφού $ξ>x$ θα ισχύει και $\lim_{x\to \infty}f'(x)=0$. Έτσι και πάλι $$\lim_{x\to \infty} g'(x)=0$$ και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο...