Έστω δύο συναρτήσεις $f$, $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $$g(x)=f\left(f(x)\right)+e^x \text{ για κάθε } x\in\mathbb{R}.$$
Αν η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε $x_0\in\mathbb{R}$ υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}f(x)$ και είναι πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
- η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως αύξουσα
- η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής
- αν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις
$$\lim_{x\to 0}f(x)=1 \text{ και } f(x)\ne 0 \text{ για κάθε } x\in\mathbb{R},$$ τότε
a) $g(x)>1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$
b) Η εξίσωση $$x^3g\left(2x^4\right)+x^4g\left(x^2\right)+x^2f\left(x^2-1\right)=1$$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(-1,1)$.