Έστω η συνάρτηση $f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f\left((-1,+\infty)\right)=\mathbb{R}$, η οποία είναι 1-1 και τέτοια ώστε
$$f(x)\le x \text{ για κάθε } x>-1$$
και
$$f^{-1}(x)\le e^x-1 \text{ για κάθε } x\in\mathbb{R}.$$
Να αποδείξετε ότι
1. η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$ βρίσκεται "πάνω" από την ευθεία με $y=x$.
2. $f(x)\ge \ln(x+1)$ για κάθε $x>-1$.
3. $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f^{-1}(x)=0$.
4. Αν οι συναρτήσεις $f$ και $f^{-1}$ είναι συνεχείς, τότε υπάρχει αριθμός $x_0\in [1,2]$ τέτοιος ώστε $$(x_0-1)f^{-1}(x_0)+(2-x_0)f(x_0)=x_0^2-2x_0+2.$$