Άσκηση όρια επανάληψης

Question

1. Αν $P(x)$ είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση και $x_0\in \mathbb{R}$, να αποδείξετε ότι $$\lim_{x\to x_0}P(x)=P(x_0).$$

2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε κάποιο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της;

3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος
   a) Κάθε οριζόντια ευθεία τέμενει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.
   b) Αν οι συναρτήσεις $f$, $g$ είναι συνεχείς στο σημείο $x_0$, τότε και η σύνθεσή τους $g\circ f$ είναι συνεχής στο ίδιο σημείο.
   c) Το σύνολο τιμών ενός κλειστού διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι πάντοτε κλειστό διάστημα.
   d) $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$
   e) Αν υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}\left(f(x)+g(x)\right)$, τότε υποχρεωτικά υπάρχουν και τα όρια $\lim_{x\to x_0}f(x) και \lim_{x\to x_0}g(x)$.