Δ1
$$ \left. \begin{matrix}ΣF=m\cdot a_{cm}\implies W-T_1=m\cdot a_{cm} \\ Σ τ=Iα_{γων}\implies T_1\cdot R=\frac{1}{2}mR^2\cdot α_{γων}\end{matrix} \right\} \\ T_1=\frac{m\cdot a_{cm}}{2},W=\frac{3m\cdot a_{cm}}{2} $$
$$0=v_Γ=v_Z=v_{cm}-v_{γρ_Ζ}\implies v_{cm}=ωR\implies a_{cm}= \\ a_γ R\implies a_{cm}=\frac{2}{3}g=\frac{20}{3}\frac{m}{s}$$
Δ2
$$T'_1=T_1=\frac{2\cdot 20}{2\cdot 3}=\frac{20}{3}N$$
3ος Νόμος του Νεύτωνα και νήμα αβαρές μη εκτατό
Για τη ράβδο που ισορροπεί:
$$Σ_{τ_{(Α)}}=0\implies w_ρ\cdot\frac{l}{2}+T'_1\cdot l-T\cdot l\cdot ημφ=0\implies T=\frac{100}{3}N$$
Δ3
Την $t_1$, $h_1=0,3m$
$$h_1=\frac{1}{2}a_{cm}t_1^2\implies 0,3=\frac{1}{2}\cdot\frac{20}{3}t_1^2\implies t_1=0,3s$$
$$a_{γων}=\frac{a_{cm}}{R}=\frac{200}{3}r/s^2$$
$$w_1=a_{γων}t_1=20r/s$$
$t \to t_1+Δt$:
$$τ_{w_{cm}}=0=\frac{ΔL}{Δt}\implies L_{t_1}=L_{t_1+Δ_t}$$
Η μόνη δύναμη που ασκείται στο δίσκο είναι το βάρος $W$.
Όπου
$$L_{t_1}=I\cdot ω_1$$
$$I=\frac{1}{2}mR^2=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 0,1^2=0,01kg m^2$$
Άρα
$$L_{t_1}=0,2kg\frac{m^2}{s}=L_{t_1+Δt}$$
ή $ΘΜΚΕ_{(0\to h_1)}:$
$$ \left. \begin{matrix}\text{μετ: }\frac{1}{2}mv_{cm1}^2-0=W\cdot h_1-T_1\cdot h_1 \\ \text{στρ: } \frac{1}{2}Iω_1^2-0=+(T_1\cdot R)\cdot θ_1 \\ v_{cm1}=ω_1\cdot R \\ x_{cm}=θ\cdot R\implies h_1=θ_1\cdot R \end{matrix} \right\}\implies \\ \frac{1}{2}mv_{cm1}^2+\frac{1}{2}Iω_1^2=mgh_1\implies \\ \frac{1}{2}v_{cm1}^2+\frac{1}{4}\cdot v_{cm1}^2=gh_1 \implies v_{cm1}^2=\frac{4gh_1}{3}\implies \\ v_{cm1}=2m/s \implies ω_1=20r/s \\ \implies L_{t_1}=Iω_1=0,2kg \frac{m^2}{s}\implies L_{t_1}=0,2 kg \frac{m^2}{s} $$
Η δύναμη $T_1$ δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, αφού κάθε στιγμή ασκείται σε διαφορετικό σημείο του δίσκου, λειτουργεί δηλαδή όπως η στατική τριβή στη Κ.Χ.Ο. Επομένως η μηχανική ενέργεια του δίσκου διατηρείται.
$ΑΔΜΕ_{(0,h_1)}:$
$$ K_{(0)}+U_{(0)}=K_{(t_1)}+U_{(t_1)} \\ 0+mgh_1=\left( \frac{1}{2}mv_{cm1}^2+\frac{1}{2}Iω_1^2\right) + 0 \\ mgh_1=\frac{1}{2}mω_1^2R^2+\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ mgh_1=Iω_1^2+\frac{1}{2}Iω_1^2=3\cdot\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ \left. \begin{matrix} \left. \begin{matrix}K_{στρ}=\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ L=Iω_1 \end{matrix} \right\} K_{στρ}=\frac{L^2}{2I} \\ mgh_1=3K_{(στρ)} \end{matrix} \right\} \implies mgh_1=\frac{3L^2}{2I} \\ 9\cdot 10\cdot 0,3=\frac{3L_{t_1}^2}{2\cdot 0,01} \implies L_{t_1}=0,2kg \frac{m^2}{s} \\ $$
Δ4
$t_2=t_1+Δt'$:
$$ \frac{K_{στρ(t_2)}}{K_{μετ(t_2)}}=\frac{\frac{1}{2}Iω_2^2}{\frac{1}{2}mv_{cm_2}^2} $$
$t_1=t_2$:
$$ Στ_{cm}=0\implies ω_2=ω_1=20r/s \\ ΣF=m\cdot a_{cm}\implies W=m\cdot a_{cm}\implies a_{cm}=g=10 m/s^2 \\ v_{cm_2}=v_{cm_1}+g\cdot Δt'=2+10\cdot 0,1=3m/s $$
$$ \frac{K_{περ}}{K_{μετ}}=\frac{\frac{1}{2}Iω^2}{\frac{1}{2}mv^2}=\frac{\frac{1}{2}mR^2ω_2^2}{mv_2^2}=\frac{2}{9} \\ \frac{K_{περ}}{K_{μετ}}=\frac{2}{9} $$