0 ψήφοι
262 προβολές

Μία ομογενής άκαμπτη ράβδος $ΑΓ$ σταθερής διατομής έχει μάζα $Μ=4Kg$. Η
ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το άκρο της $Α$ συνδέεται με άρθρωση
σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο $Γ$ της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς μη
εκτατού νήματος $ΓΔ$ με τον κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο
γωνία $φ$. Γύρω από ένα λεπτό ομογενή δίσκο κέντρου $Κ$, μάζας $m=2kg$ και
ακτίνας $R=0,1m$ είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα λεπτό μη εκτατό αβαρές
νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος έχει στερεωθεί στο άκρο $Γ$ της ράβδου $ΑΓ$,
όπως φαίνεται στο σχήμα 4:
Σχήμα 4
Τη χρονική στιγμή $t_0=0$ ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί και το νήμα ξετυλίγεται
χωρίς να ολισθαίνει.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου,
καθώς αυτός κατέρχεται. Μονάδες 6

Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος $ΑΓ$ στο άκρο
της $Γ$ από το νήμα $ΓΔ$, όταν ο δίσκος κατέρχεται. Μονάδες 6

Τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας $Κ$ του δίσκου έχει κατέλθει κατακόρυφα
κατά $h_1=0,3m$ το νήμα που συνδέει το δίσκο με τη ράβδο κόβεται.

Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα
περιστροφής του, μετά από χρονικό διάστημα Δt από τη στιγμή που
κόπηκε το νήμα. Μονάδες 6

Δ4. Να υπολογίσετε το λόγο της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφικής
κίνησης προς την κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης του δίσκου
μετά από χρονικό διάστημα $Δt΄=0,1s$ από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. Μονάδες 7

Δίνονται:

  • η επιτάχυνση της βαρύτητας $g = 10 m/s^2$
  • η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το
    κέντρο μάζας του $Ι_{CM} = \dfrac{1}{2}mR^2$
  • $ημφ=0,8$, $συνφ=0,6$
  • ο άξονας περιστροφής του δίσκου παραμένει συνεχώς οριζόντιος και
    κινείται σε κατακόρυφη τροχιά σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του
  • ο δίσκος δεν φτάνει στο έδαφος στη διάρκεια του φαινομένου.
ερωτήθηκε σε Κίνηση σε ευθεία γραμμή από τον/την | 262 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Δ1

$$ \left. \begin{matrix}ΣF=m\cdot a_{cm}\implies W-T_1=m\cdot a_{cm} \\ Σ τ=Iα_{γων}\implies T_1\cdot R=\frac{1}{2}mR^2\cdot α_{γων}\end{matrix} \right\} \\ T_1=\frac{m\cdot a_{cm}}{2},W=\frac{3m\cdot a_{cm}}{2} $$

$$0=v_Γ=v_Z=v_{cm}-v_{γρ_Ζ}\implies v_{cm}=ωR\implies a_{cm}= \\ a_γ R\implies a_{cm}=\frac{2}{3}g=\frac{20}{3}\frac{m}{s}$$

Δ2

$$T'_1=T_1=\frac{2\cdot 20}{2\cdot 3}=\frac{20}{3}N$$
 
3ος Νόμος του Νεύτωνα και νήμα αβαρές μη εκτατό
Για τη ράβδο που ισορροπεί:

$$Σ_{τ_{(Α)}}=0\implies w_ρ\cdot\frac{l}{2}+T'_1\cdot l-T\cdot l\cdot ημφ=0\implies T=\frac{100}{3}N$$

Δ3
ΣχήμαΔ3

Την $t_1$, $h_1=0,3m$

$$h_1=\frac{1}{2}a_{cm}t_1^2\implies 0,3=\frac{1}{2}\cdot\frac{20}{3}t_1^2\implies t_1=0,3s$$

$$a_{γων}=\frac{a_{cm}}{R}=\frac{200}{3}r/s^2$$

$$w_1=a_{γων}t_1=20r/s$$

$t \to t_1+Δt$:

$$τ_{w_{cm}}=0=\frac{ΔL}{Δt}\implies L_{t_1}=L_{t_1+Δ_t}$$

Η μόνη δύναμη που ασκείται στο δίσκο είναι το βάρος $W$.

Όπου

$$L_{t_1}=I\cdot ω_1$$

$$I=\frac{1}{2}mR^2=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 0,1^2=0,01kg m^2$$

Άρα

$$L_{t_1}=0,2kg\frac{m^2}{s}=L_{t_1+Δt}$$

ή $ΘΜΚΕ_{(0\to h_1)}:$

$$ \left. \begin{matrix}\text{μετ: }\frac{1}{2}mv_{cm1}^2-0=W\cdot h_1-T_1\cdot h_1 \\ \text{στρ: } \frac{1}{2}Iω_1^2-0=+(T_1\cdot R)\cdot θ_1 \\ v_{cm1}=ω_1\cdot R \\ x_{cm}=θ\cdot R\implies h_1=θ_1\cdot R \end{matrix} \right\}\implies \\ \frac{1}{2}mv_{cm1}^2+\frac{1}{2}Iω_1^2=mgh_1\implies \\ \frac{1}{2}v_{cm1}^2+\frac{1}{4}\cdot v_{cm1}^2=gh_1 \implies v_{cm1}^2=\frac{4gh_1}{3}\implies \\ v_{cm1}=2m/s \implies ω_1=20r/s \\ \implies L_{t_1}=Iω_1=0,2kg \frac{m^2}{s}\implies L_{t_1}=0,2 kg \frac{m^2}{s} $$

Η δύναμη $T_1$ δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, αφού κάθε στιγμή ασκείται σε διαφορετικό σημείο του δίσκου, λειτουργεί δηλαδή όπως η στατική τριβή στη Κ.Χ.Ο. Επομένως η μηχανική ενέργεια του δίσκου διατηρείται.

$ΑΔΜΕ_{(0,h_1)}:$

$$ K_{(0)}+U_{(0)}=K_{(t_1)}+U_{(t_1)} \\ 0+mgh_1=\left( \frac{1}{2}mv_{cm1}^2+\frac{1}{2}Iω_1^2\right) + 0 \\ mgh_1=\frac{1}{2}mω_1^2R^2+\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ mgh_1=Iω_1^2+\frac{1}{2}Iω_1^2=3\cdot\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ \left. \begin{matrix} \left. \begin{matrix}K_{στρ}=\frac{1}{2}Iω_1^2 \\ L=Iω_1 \end{matrix} \right\} K_{στρ}=\frac{L^2}{2I} \\ mgh_1=3K_{(στρ)} \end{matrix} \right\} \implies mgh_1=\frac{3L^2}{2I} \\ 9\cdot 10\cdot 0,3=\frac{3L_{t_1}^2}{2\cdot 0,01} \implies L_{t_1}=0,2kg \frac{m^2}{s} \\ $$

Δ4
$t_2=t_1+Δt'$:

$$ \frac{K_{στρ(t_2)}}{K_{μετ(t_2)}}=\frac{\frac{1}{2}Iω_2^2}{\frac{1}{2}mv_{cm_2}^2} $$

$t_1=t_2$:

$$ Στ_{cm}=0\implies ω_2=ω_1=20r/s \\ ΣF=m\cdot a_{cm}\implies W=m\cdot a_{cm}\implies a_{cm}=g=10 m/s^2 \\ v_{cm_2}=v_{cm_1}+g\cdot Δt'=2+10\cdot 0,1=3m/s $$

$$ \frac{K_{περ}}{K_{μετ}}=\frac{\frac{1}{2}Iω^2}{\frac{1}{2}mv^2}=\frac{\frac{1}{2}mR^2ω_2^2}{mv_2^2}=\frac{2}{9} \\ \frac{K_{περ}}{K_{μετ}}=\frac{2}{9} $$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες