0 ψήφοι
242 προβολές

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας σε γραμμικό ελαστικό μέσο (χορδή) που ταυτίζεται με τον ημιάξονα $Οx$, προς τη θετική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στο άκρο Ο ($x=0$) του ημιάξονα $Οx$ του ελαστικού μέσου. Η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης $y=A∙ημωt$.
Στοιχειώδης μάζα $Δm=10^{-6}kg$ του ελαστικού μέσου έχει ενέργεια ταλάντωσης
$Ε_T=5\pi^2\cdot 10^{-7}J$.
Το ελάχιστο χρονικό διάστημα για την απευθείας μετάβαση της στοιχειώδους μάζας $Δm$ του ελαστικού μέσου από την κάτω ακραία θέση ταλάντωσής της μέχρι την επάνω ακραία θέση ταλάντωσής της είναι $Δt=0,4s$.
Στο ίδιο χρονικό διάστημα το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση $Δx=4cm$.

Γ1. Να υπολογίσετε την περίοδο του κύματος (μονάδες 2), το μήκος κύματος του κύματος (μονάδες 2) και το πλάτος ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας $Δm$ (μονάδες 3). Μονάδες 7

Γ2. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος (μονάδες 2) και να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή $t_1=1,4s$ (μονάδες 4). Μονάδες 6

Γ3. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της στοιχειώδους μάζας $Δm$, όταν η απομάκρυνσή της από τη θέση ισορροπίας της είναι $y=0,2m$. Μονάδες 6

Δύο σημεία Ρ και Σ της χορδής έχουν διαφορά φάσης $φ_Ρ-φ_Σ=\dfrac{3\pi}{2}rad$.

Γ4. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ, όταν η απομάκρυνση του σημείου Ρ από τη θέση ισορροπίας του είναι $y_Ρ=0,4m$. Μονάδες 6

Όπου εμφανίζεται το $\pi$ να μη γίνει αριθμητική αντικατάσταση.

ερωτήθηκε σε Κίνηση σε ευθεία γραμμή από τον/την | 242 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Γ1

$$ -A \to +A: Δt=\frac{T}{2}=0,4s\implies T=0,8s $$
σε $Δt$ η διαταραχή διαδόθηκε σε απόσταση $Δx=4cm=0,04m$.

$$v_δ=\frac{Δx}{Δt}=\frac{0,04}{0,4}=0,1m/s$$

$$v_δ=\frac{λ}{T}\implies λ=0,08m$$

Το $Δm$ εκτελεί α.α.τ.:

$$D=Δm\cdot ω^2=Δm\frac{4\pi^2}{T^2}=10^{-6}\frac{4\pi^2}{0,64}=\\ \frac{\pi^2}{16}10^{-4}\frac{N}{m}$$

$$E_T=\frac{1}{2}D\cdot A^2\implies 5\pi^2 10^{-7}= \\ \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{16}10^{-4}A^2\implies A^2=0,16\implies A=0,4m \text{ (πλάτος)}$$

Γ2

Η εξίσωση του κύματος είναι:

$$y_{(x,t)}=Aημ\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x}{λ}\right)=0,4ημ\left(\frac{5\pi t}{2}-25\pi x \right) \text{ (SI)}$$

Στιγμιότυπο την $t_1=1,4s$:
Την $t_1$ η διαταραχή έφτασε στη θέση
$$\left. \begin{matrix} x_1=v_δ t_1=0,1\cdot 1,4=0,14m, N_1=\frac{x_1}{λ}=\frac{0,14}{0,08}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4} \text{ μήκη κύματος} \\ \text{ ή } \\ φ_{t_1}=0\implies \frac{5\pi \cdot 1,4}{2}-25\pi x_1=0\implies x_1=0,14m \end{matrix} \right\} $$

$$y_{t_1}=\begin{cases} 0,4ημ\left(3,5\pi-25\pi x \right), & 0\le x\le 0,14m \\ 0, & 0,14m < x \end{cases}$$

$$x=0,y_{0}=0,4ημ3,5\pi=-0,4m$$

Γ3
$ΑΔΕ_{ταλ}$ για $Δm$

Για $$y=0,2m=\frac{A}{2}$$

$$ E_T=K+U\implies E_T=K+\frac{1}{2}Dy^2 \overset{y=\frac{A}{2}}{\implies} E_T=K+\frac{1}{2}D\frac{A^2}{4}\implies \\ E_T=K+\frac{1}{4}E_T\implies K=\frac{3}{4}E_T=\frac{3}{4}5\pi^2 10^{-7}=\frac{3\pi^2}{8}10^{-6} J $$

ή

$$y=Aημφ=\frac{A}{2}\implies ημφ=\frac{1}{2}\implies φ=\begin{cases}2k\pi+\frac{\pi}{6}, & k=0,1,2,... (1) \\ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, & k = 0,1,2,... (2)\end{cases}$$

$$v=ωAσυνφ=\begin{cases}=ωAσυν\left(2k\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{ωA\sqrt{3}}{2} \\ ωAσυν\left(2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{ωA\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$

$$K=\frac{1}{2}Δm\cdot v^2=\frac{1}{2}Δm\left(\pm \frac{ωA\sqrt{3}}{2} \right)^2=\frac{1}{2}Δm\cdot \frac{ω^2A^2 3}{4}=\\ \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}D\cdot A^2=\frac{3}{4}E_T$$

Γ4
$$φ_Ρ-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}rad,(φ_Ρ>φ_Σ)$$

$$\left. \begin{matrix}y_Ρ=0,4m=A \\ y_Ρ=Aημφ_Ρ\end{matrix} \right\} ημφ_Ρ=1\implies φ_Ρ=2k\pi+\frac{\pi}{2},k=0,1,2,\ldots$$

$$2k\pi+\frac{\pi}{2}-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}\implies φ_Σ=2k\pi-\pi$$
Άρα
$$v_Σ=\frac{5\pi}{2}\cdot 0,4\cdot συν\left(2k\pi-\pi\right)\implies v_Σ=-\pi \frac{m}{s}$$

ή

$$ φ_Ρ-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}\implies \\ \left. \begin{matrix}\frac{5\pi t}{2}-25\pi x_Ρ-\left(\frac{5\pi t}{2}-25\pi x_Σ\right)=\frac{3\pi}{2}\implies x_Σ-x_Ρ=\frac{3}{50} \\ \frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x_Ρ}{λ}-\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x_Σ}{λ}\right)=\frac{3\pi}{2}\implies x_Σ-x_Ρ=\frac{3λ}{4}\end{matrix} \right\}\implies \frac{3λ}{4}=\frac{3}{50}\implies \\ λ=0,08=\frac{4}{50}m $$

όταν $y_Ρ=A$, $$v_Σ=-ωA=-\pi \frac{m}{s}$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες