Πανελλήνιες Φυσική 2017 Θέμα Γ

Question

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας σε γραμμικό ελαστικό μέσο (χορδή) που ταυτίζεται με τον ημιάξονα $Οx$, προς τη θετική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στο άκρο Ο ($x=0$) του ημιάξονα $Οx$ του ελαστικού μέσου. Η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης $y=A∙ημωt$.
Στοιχειώδης μάζα $Δm=10^{-6}kg$ του ελαστικού μέσου έχει ενέργεια ταλάντωσης
$Ε_T=5\pi^2\cdot 10^{-7}J$.
Το ελάχιστο χρονικό διάστημα για την απευθείας μετάβαση της στοιχειώδους μάζας $Δm$ του ελαστικού μέσου από την κάτω ακραία θέση ταλάντωσής της μέχρι την επάνω ακραία θέση ταλάντωσής της είναι $Δt=0,4s$.
Στο ίδιο χρονικό διάστημα το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση $Δx=4cm$.

Γ1. Να υπολογίσετε την περίοδο του κύματος (μονάδες 2), το μήκος κύματος του κύματος (μονάδες 2) και το πλάτος ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας $Δm$ (μονάδες 3). Μονάδες 7

Γ2. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος (μονάδες 2) και να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή $t_1=1,4s$ (μονάδες 4). Μονάδες 6

Γ3. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της στοιχειώδους μάζας $Δm$, όταν η απομάκρυνσή της από τη θέση ισορροπίας της είναι $y=0,2m$. Μονάδες 6

Δύο σημεία Ρ και Σ της χορδής έχουν διαφορά φάσης $φ_Ρ-φ_Σ=\dfrac{3\pi}{2}rad$.

Γ4. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ, όταν η απομάκρυνση του σημείου Ρ από τη θέση ισορροπίας του είναι $y_Ρ=0,4m$. Μονάδες 6

Όπου εμφανίζεται το $\pi$ να μη γίνει αριθμητική αντικατάσταση.

Answer 1

Γ1

$$ -A \to +A: Δt=\frac{T}{2}=0,4s\implies T=0,8s $$
σε $Δt$ η διαταραχή διαδόθηκε σε απόσταση $Δx=4cm=0,04m$.

$$v_δ=\frac{Δx}{Δt}=\frac{0,04}{0,4}=0,1m/s$$

$$v_δ=\frac{λ}{T}\implies λ=0,08m$$

Το $Δm$ εκτελεί α.α.τ.:

$$D=Δm\cdot ω^2=Δm\frac{4\pi^2}{T^2}=10^{-6}\frac{4\pi^2}{0,64}=\\ \frac{\pi^2}{16}10^{-4}\frac{N}{m}$$

$$E_T=\frac{1}{2}D\cdot A^2\implies 5\pi^2 10^{-7}= \\ \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{16}10^{-4}A^2\implies A^2=0,16\implies A=0,4m \text{ (πλάτος)}$$

Γ2

Η εξίσωση του κύματος είναι:

$$y_{(x,t)}=Aημ\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x}{λ}\right)=0,4ημ\left(\frac{5\pi t}{2}-25\pi x \right) \text{ (SI)}$$

Στιγμιότυπο την $t_1=1,4s$:
Την $t_1$ η διαταραχή έφτασε στη θέση
$$\left. \begin{matrix} x_1=v_δ t_1=0,1\cdot 1,4=0,14m, N_1=\frac{x_1}{λ}=\frac{0,14}{0,08}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4} \text{ μήκη κύματος} \\ \text{ ή } \\ φ_{t_1}=0\implies \frac{5\pi \cdot 1,4}{2}-25\pi x_1=0\implies x_1=0,14m \end{matrix} \right\} $$

$$y_{t_1}=\begin{cases} 0,4ημ\left(3,5\pi-25\pi x \right), & 0\le x\le 0,14m \\ 0, & 0,14m < x \end{cases}$$

$$x=0,y_{0}=0,4ημ3,5\pi=-0,4m$$

Γ3
$ΑΔΕ_{ταλ}$ για $Δm$

Για $$y=0,2m=\frac{A}{2}$$

$$ E_T=K+U\implies E_T=K+\frac{1}{2}Dy^2 \overset{y=\frac{A}{2}}{\implies} E_T=K+\frac{1}{2}D\frac{A^2}{4}\implies \\ E_T=K+\frac{1}{4}E_T\implies K=\frac{3}{4}E_T=\frac{3}{4}5\pi^2 10^{-7}=\frac{3\pi^2}{8}10^{-6} J $$

ή

$$y=Aημφ=\frac{A}{2}\implies ημφ=\frac{1}{2}\implies φ=\begin{cases}2k\pi+\frac{\pi}{6}, & k=0,1,2,... (1) \\ 2k\pi + \frac{5\pi}{6}, & k = 0,1,2,... (2)\end{cases}$$

$$v=ωAσυνφ=\begin{cases}=ωAσυν\left(2k\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{ωA\sqrt{3}}{2} \\ ωAσυν\left(2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{ωA\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$

$$K=\frac{1}{2}Δm\cdot v^2=\frac{1}{2}Δm\left(\pm \frac{ωA\sqrt{3}}{2} \right)^2=\frac{1}{2}Δm\cdot \frac{ω^2A^2 3}{4}=\\ \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}D\cdot A^2=\frac{3}{4}E_T$$

Γ4
$$φ_Ρ-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}rad,(φ_Ρ>φ_Σ)$$

$$\left. \begin{matrix}y_Ρ=0,4m=A \\ y_Ρ=Aημφ_Ρ\end{matrix} \right\} ημφ_Ρ=1\implies φ_Ρ=2k\pi+\frac{\pi}{2},k=0,1,2,\ldots$$

$$2k\pi+\frac{\pi}{2}-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}\implies φ_Σ=2k\pi-\pi$$
Άρα
$$v_Σ=\frac{5\pi}{2}\cdot 0,4\cdot συν\left(2k\pi-\pi\right)\implies v_Σ=-\pi \frac{m}{s}$$

ή

$$ φ_Ρ-φ_Σ=\frac{3\pi}{2}\implies \\ \left. \begin{matrix}\frac{5\pi t}{2}-25\pi x_Ρ-\left(\frac{5\pi t}{2}-25\pi x_Σ\right)=\frac{3\pi}{2}\implies x_Σ-x_Ρ=\frac{3}{50} \\ \frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x_Ρ}{λ}-\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{2\pi x_Σ}{λ}\right)=\frac{3\pi}{2}\implies x_Σ-x_Ρ=\frac{3λ}{4}\end{matrix} \right\}\implies \frac{3λ}{4}=\frac{3}{50}\implies \\ λ=0,08=\frac{4}{50}m $$

όταν $y_Ρ=A$, $$v_Σ=-ωA=-\pi \frac{m}{s}$$