0 ψήφοι
108 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{x^4}, & x\in[-1,0) \\ e^xημx, & x\in[0,\pi]\end{cases}$

Δ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[-1,\pi]$ και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της

Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τη γραφική παράσταση της $g$, με $g(x)=e^{5x}$, $x\in\mathbb{R}$, τον άξονα $y'y$ και την ευθεία $x=\pi$.

Δ4. Να λύσετε την εξίσωση $16e^{-\frac{3\pi}{4}}f(x)-e^{-\frac{3\pi}{4}}\left(4x-3\pi\right)^2=8\sqrt{2}$.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 108 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Δ1. Η συνάρτηση σε κάθε της κλάδο είναι συνεχής. Για το σημείο που αλλάζει τύπο έχουμε $\lim_{x\to 0^-}f(x)=0=\lim_{x\to 0^+}f(x)$. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής.

  • σημείο που μηδενίζει η παράγωγος:

$$f'(x)=\begin{cases} -\frac{4}{3}\left(-x\right)^{\frac{1}{3}}, & x\in[-1,0) \\ e^x(ημx+συνx), & x\in[0,\pi]\end{cases}$$
Έτσι και μόνο για τον δεύτερο κλάδο, αφού ο πρώτος μηδενίζει μόνο στο $x=0$, έχουμε $$e^x(ημx+συνx)=0\implies x=\frac{3\pi}{4}$$

  • σημεία που δεν ορίζεται η παράγωγος:
    $$\lim_{x\to 0^-}\frac{(-x)^{\frac{4}{3}}-0}{x-0}=0$$ και $$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^xημx-0}{x-0}=1$$

Άρα τα κρίσιμα σημεία είναι τα $x=0$ και $x=\frac{3\pi}{4}$.

Δ2. Με πίνακα προσήμων για την $f'(x)$ έχουμε

άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για $x\in(0,\frac{3\pi}{4})$ και γνησίως φθίνουσα για $x\in(-1,0)\cup(\frac{3\pi}{4},\pi)$. Για κάθε ένα από τα διαστήματα βρίσκουμε το σύνολο τιμών και έχουμε $$\left(f(0),f(-1)\right)\cup\left(f(0),f(\frac{3\pi}{4})\right),\left(f(\pi),f(\frac{3\pi}{4})\right) \\ \left(0,1\right)\cup\left(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Αλλά $$e^{\frac{3\pi}{4}}>2 \implies \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{3\pi}{4}}>1$$ άρα το σύνολο τιμών είναι το $f(A)=(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Δ3. Έχουμε ότι $e^{x}ημx\lt e^{x}\lt e^{5x}$ άρα το εμβαδό είναι ίσο με

$$E=\int_{0}^{\pi}e^{5x}-e^x ημxdx= \\ \left[\frac{e^{5x}}{5}-\frac{1}{2}e^x (ημx+συνx)\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{5\pi}-1}{5}-\frac{e^\pi}{2}-\frac{1}{2}$$

Δ4. Με πολλαπλασιασμό έχουμε

$$f(x)-\left(\frac{4x-3\pi}{4}\right)^2=e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}=f(\frac{3\pi}{4}) \implies \\ f(x)-f(\frac{3\pi}{4}) = -\left(\frac{4x-3\pi}{4}\right)^2$$

Αφού το μέγιστο της συνάρτησης $f$ είναι το $f(\frac{3\pi}{4})$, η προηγούμενη εξίσωση ισχύει μόνο για $x=\frac{3\pi}{4}$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες