Δ1. Η συνάρτηση σε κάθε της κλάδο είναι συνεχής. Για το σημείο που αλλάζει τύπο έχουμε $\lim_{x\to 0^-}f(x)=0=\lim_{x\to 0^+}f(x)$. Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής.
- σημείο που μηδενίζει η παράγωγος:
$$f'(x)=\begin{cases} -\frac{4}{3}\left(-x\right)^{\frac{1}{3}}, & x\in[-1,0) \\ e^x(ημx+συνx), & x\in[0,\pi]\end{cases}$$
Έτσι και μόνο για τον δεύτερο κλάδο, αφού ο πρώτος μηδενίζει μόνο στο $x=0$, έχουμε $$e^x(ημx+συνx)=0\implies x=\frac{3\pi}{4}$$
- σημεία που δεν ορίζεται η παράγωγος:
$$\lim_{x\to 0^-}\frac{(-x)^{\frac{4}{3}}-0}{x-0}=0$$ και $$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^xημx-0}{x-0}=1$$
Άρα τα κρίσιμα σημεία είναι τα $x=0$ και $x=\frac{3\pi}{4}$.
Δ2. Με πίνακα προσήμων για την $f'(x)$ έχουμε
άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για $x\in(0,\frac{3\pi}{4})$ και γνησίως φθίνουσα για $x\in(-1,0)\cup(\frac{3\pi}{4},\pi)$. Για κάθε ένα από τα διαστήματα βρίσκουμε το σύνολο τιμών και έχουμε $$\left(f(0),f(-1)\right)\cup\left(f(0),f(\frac{3\pi}{4})\right),\left(f(\pi),f(\frac{3\pi}{4})\right) \\ \left(0,1\right)\cup\left(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Αλλά $$e^{\frac{3\pi}{4}}>2 \implies \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{3\pi}{4}}>1$$ άρα το σύνολο τιμών είναι το $f(A)=(0,e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Δ3. Έχουμε ότι $e^{x}ημx\lt e^{x}\lt e^{5x}$ άρα το εμβαδό είναι ίσο με
$$E=\int_{0}^{\pi}e^{5x}-e^x ημxdx= \\ \left[\frac{e^{5x}}{5}-\frac{1}{2}e^x (ημx+συνx)\right]_{0}^{\pi}=\frac{e^{5\pi}-1}{5}-\frac{e^\pi}{2}-\frac{1}{2}$$
Δ4. Με πολλαπλασιασμό έχουμε
$$f(x)-\left(\frac{4x-3\pi}{4}\right)^2=e^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}=f(\frac{3\pi}{4}) \implies \\ f(x)-f(\frac{3\pi}{4}) = -\left(\frac{4x-3\pi}{4}\right)^2$$
Αφού το μέγιστο της συνάρτησης $f$ είναι το $f(\frac{3\pi}{4})$, η προηγούμενη εξίσωση ισχύει μόνο για $x=\frac{3\pi}{4}$