Γ1. Η εφαπτομένη της γραφικής της $C_f$ στο σημείο $x=x_0$ είναι η $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$ Έχουμε $f(x_0)=-ημx_0$ και $f'(x_0)=-συνx_0$. Έτσι $$y+ημx_0=-(x-x_0)συνx_0$$
Η εφαπτομένη περνάει από το σημείο $Α$ άρα επαληθεύει την εξίσωση, έτσι
$$-\frac{\pi}{2}+ημx_0=-(\frac{\pi}{2}-x_0)συνx_0 \implies \\ -\frac{\pi}{2}+ημx_0+(\frac{\pi}{2}-x_0)συνx_0=0$$
Προφανείς ρίζες είναι οι $x=0$ και $x=\pi$. Θεωρούμε ότι υπάρχει και τρίτη ρίζα στο $(0,\pi)$. Τότε η συνάρτηση $$h(x)=-\frac{\pi}{2}+ημx+(\frac{\pi}{2}-x)συνx$$ θα έχει σύμφωνα με το θεώρημα Rolle 2 ρίζες στην παράγωγό της στο διάστημα $(0,\pi)$. Αλλά $$h'(x)=(x-\frac{\pi}{2})ημx$$ η οποία έχει μοναδική ρίζα στο εν λόγω διάστημα, κάτι το οποίο είναι άτοπο. Έτσι οι δύο προηγούμενες ρίζες είναι και μοναδικές. Για $x=0$ η εφαπτόμενη είναι η $y=-x$ και για $x=\pi$ η εφαπτόμενη είναι η $y=x-\pi$.
Γ2. Το εμβαδό $E_2$ είναι ίσο με $$\int_{0}^{\pi}-f(x)dx=\int_{0}^{\pi}ημxdx=\left[-συνx\right]_0^{\pi}=2$$ Το εμβαδό $E_2$ μπορεί να βρεθεί με την αφαίρεση του εμβαδού του τριγώνου με κορυφές τα $(0,0)$, $(\pi,0)$ και $\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)$ με το εμβαδό $E_1$, το οποίο ισούται με $E_2=\frac{\pi\frac{\pi}{2}}{2}-2=\frac{\pi^2}{4}-2$. Έτσι $$\frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{\pi^2}{4}-2}{2}=\frac{\pi^2}{8}-1$$
Γ3. Από την γραφική παράσταση έχουμε ότι $f(x)\ge y_{ε_2} \implies f(x)-x+\pi \ge 0$ για κάθε $x\in[0,\pi]$ άρα $$\lim_{x\to \pi} \frac{f(x)+x}{f(x)-x+\pi}=\frac{\pi}{0^+}=+\infty$$
Γ4. Και πάλι από την γραφική παράσταση, αφού $f(x)\gt x -\pi$ για κάθε $x\in[1,\pi]$, συνεπώς $\frac{f(x)}{x}\gt 1-\frac{\pi}{x}$. Έτσι
$$\int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x}dx \gt \int_{1}^{e}1-\frac{\pi}{x}dx = \left[x-\pi\ln x\right]_1^{\pi} = e-1-\pi$$