0 ψήφοι
70 προβολές

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=-ημx$, $x\in[0,\pi]$, και το σημείο $Α\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)$.

Γ1. Να αποδείεξτε ότι ηυπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες $(ε_1)$, $(ε_2)$ της γραφικής παράστασης της $f$ που άγονται από το $Α$, τις οποίες και να βρείτε.

Γ2. Αν $(ε_1):y=-x$ και $(ε_2):y=x-\pi$ είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ1, τότε να σχεδιάσετε τις $(ε_1)$, $(ε_2)$ και τη γραφική παράσταση της $f$ και να αποδείξετε ότι $\frac{E_1}{E_2}=\frac{\pi^2}{8}-1$, όπου:

  • $E_1$ είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ και τις ευθείες $(ε_1)$, $(ε_2)$, και
  • $E_2$ είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ και τον άξονα $x'x$.

Γ3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\to \pi} \frac{f(x)+x}{f(x)-x+\pi}$

Γ4. Να αποδείξετε ότι $\int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x}dx \gt e-1-\pi$.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 70 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Γ1. Η εφαπτομένη της γραφικής της $C_f$ στο σημείο $x=x_0$ είναι η $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$ Έχουμε $f(x_0)=-ημx_0$ και $f'(x_0)=-συνx_0$. Έτσι $$y+ημx_0=-(x-x_0)συνx_0$$
Η εφαπτομένη περνάει από το σημείο $Α$ άρα επαληθεύει την εξίσωση, έτσι
$$-\frac{\pi}{2}+ημx_0=-(\frac{\pi}{2}-x_0)συνx_0 \implies \\ -\frac{\pi}{2}+ημx_0+(\frac{\pi}{2}-x_0)συνx_0=0$$
Προφανείς ρίζες είναι οι $x=0$ και $x=\pi$. Θεωρούμε ότι υπάρχει και τρίτη ρίζα στο $(0,\pi)$. Τότε η συνάρτηση $$h(x)=-\frac{\pi}{2}+ημx+(\frac{\pi}{2}-x)συνx$$ θα έχει σύμφωνα με το θεώρημα Rolle 2 ρίζες στην παράγωγό της στο διάστημα $(0,\pi)$. Αλλά $$h'(x)=(x-\frac{\pi}{2})ημx$$ η οποία έχει μοναδική ρίζα στο εν λόγω διάστημα, κάτι το οποίο είναι άτοπο. Έτσι οι δύο προηγούμενες ρίζες είναι και μοναδικές. Για $x=0$ η εφαπτόμενη είναι η $y=-x$ και για $x=\pi$ η εφαπτόμενη είναι η $y=x-\pi$.

Γ2. Το εμβαδό $E_2$ είναι ίσο με $$\int_{0}^{\pi}-f(x)dx=\int_{0}^{\pi}ημxdx=\left[-συνx\right]_0^{\pi}=2$$ Το εμβαδό $E_2$ μπορεί να βρεθεί με την αφαίρεση του εμβαδού του τριγώνου με κορυφές τα $(0,0)$, $(\pi,0)$ και $\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)$ με το εμβαδό $E_1$, το οποίο ισούται με $E_2=\frac{\pi\frac{\pi}{2}}{2}-2=\frac{\pi^2}{4}-2$. Έτσι $$\frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{\pi^2}{4}-2}{2}=\frac{\pi^2}{8}-1$$

Γ3. Από την γραφική παράσταση έχουμε ότι $f(x)\ge y_{ε_2} \implies f(x)-x+\pi \ge 0$ για κάθε $x\in[0,\pi]$ άρα $$\lim_{x\to \pi} \frac{f(x)+x}{f(x)-x+\pi}=\frac{\pi}{0^+}=+\infty$$

Γ4. Και πάλι από την γραφική παράσταση, αφού $f(x)\gt x -\pi$ για κάθε $x\in[1,\pi]$, συνεπώς $\frac{f(x)}{x}\gt 1-\frac{\pi}{x}$. Έτσι
$$\int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x}dx \gt \int_{1}^{e}1-\frac{\pi}{x}dx = \left[x-\pi\ln x\right]_1^{\pi} = e-1-\pi$$

απαντήθηκε από τον/την
επεξεργάσθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες