0 ψήφοι
106 προβολές

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x$, $x>0$ και $g(x)=\frac{x}{1-x}$, $x \ne 1$,

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.

Β2. Αν $h(x)=(f\circ g)(x)=\ln \left( \frac{x}{1-x}\right)$, $x\in (0,1)$, να αποδείξετε ότι η συάρτηση $h$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

Β3. Αν $φ(x)=h^{-1}(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$, $x\in \mathbb{R}$, να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Β4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $φ$ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό.)

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 106 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

B1. Θα πρέπει $x\in A_g$ και $g(x)\in A_f$, δηλαδή $x\ne1$ και $\frac{x}{1-x} \gt 0$, για το οποίο έχουμε $x\in (0,1)$. Άρα $(f\circ g)(x)=\ln \left( \frac{x}{1-x}\right)$, $x\in (0,1)$.

Β2. Η συνάρτηση $h$ είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=\frac{1}{x(1-x)}>0$, άρα η συνάρτηση $h$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς $1-1$. Άρα αντιστρέφεται με αντίστροφη:

$$y=\ln \left( \frac{x}{1-x}\right) \implies e^y=\frac{x}{1-x} \implies x(1+e^y)=e^y \\
\implies h^{-1}(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$$

Για το πεδίο ορισμού έχουμε από το σύνολο τιμών της $h$, $$h(A)=\left(\lim_{x\to 0^+}h(x),\lim_{x\to 1^-}h(x)\right)=\mathbb{R}$$, συνεπώς

$$h^{-1}(x)=\frac{e^x}{e^x+1}, x\in \mathbb{R}$$

Β3. Η συνάρτηση $φ$ είναι παραγωγίσιμη με $φ'(x)=\frac{1}{(1+e^x)^2}>0$ άρα η $φ$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς δεν έχει ακρότατα. Επίσης $φ''(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$, με $φ(x)<0$ όταν $x>0$ και $φ(x)>0$ όταν $x<0$. Έτσι η $φ$ είναι κυρτή για $x<0$, κοίλη για $x>0$ και έχει σημείο καμπής το $(0,φ(0))=\left(0,\frac{1}{2}\right)$

Β4. Για να βρούμε τις οριζόντιες ασύμπτωτες, έχουμε για το $-\infty$, $$\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{0}{0+1}=0 \implies \\ y=0$$ ενώ για το $+\infty$ έχουμε $$\lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{e^x}=1 \implies \\ y=1$$.
Η γραφική της παράσταση λοιπόν είναι η

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες