B1. Θα πρέπει $x\in A_g$ και $g(x)\in A_f$, δηλαδή $x\ne1$ και $\frac{x}{1-x} \gt 0$, για το οποίο έχουμε $x\in (0,1)$. Άρα $(f\circ g)(x)=\ln \left( \frac{x}{1-x}\right)$, $x\in (0,1)$.
Β2. Η συνάρτηση $h$ είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=\frac{1}{x(1-x)}>0$, άρα η συνάρτηση $h$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς $1-1$. Άρα αντιστρέφεται με αντίστροφη:
$$y=\ln \left( \frac{x}{1-x}\right) \implies e^y=\frac{x}{1-x} \implies x(1+e^y)=e^y \\
\implies h^{-1}(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$$
Για το πεδίο ορισμού έχουμε από το σύνολο τιμών της $h$, $$h(A)=\left(\lim_{x\to 0^+}h(x),\lim_{x\to 1^-}h(x)\right)=\mathbb{R}$$, συνεπώς
$$h^{-1}(x)=\frac{e^x}{e^x+1}, x\in \mathbb{R}$$
Β3. Η συνάρτηση $φ$ είναι παραγωγίσιμη με $φ'(x)=\frac{1}{(1+e^x)^2}>0$ άρα η $φ$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς δεν έχει ακρότατα. Επίσης $φ''(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$, με $φ(x)<0$ όταν $x>0$ και $φ(x)>0$ όταν $x<0$. Έτσι η $φ$ είναι κυρτή για $x<0$, κοίλη για $x>0$ και έχει σημείο καμπής το $(0,φ(0))=\left(0,\frac{1}{2}\right)$
Β4. Για να βρούμε τις οριζόντιες ασύμπτωτες, έχουμε για το $-\infty$, $$\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{0}{0+1}=0 \implies \\ y=0$$ ενώ για το $+\infty$ έχουμε $$\lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{e^x}=1 \implies \\ y=1$$.
Η γραφική της παράσταση λοιπόν είναι η