σχεση αναμεσα στη κινηση δυο δισκων

Question

οι δυο οριζοντιοι ομογενεις δισκοι εχουν ιδια μαζα και ιδια ακτινα , ειναι αρχικα ακινητοι και μπορουν να περιστρεφονται χωρις τρυβες γυρο απο κατακορυφο αξονα παο διερχεται απο το κεντρο τους. στην επιφανεια των δισκων εχουμε σκορπισει με ομοιομορφο τροπο την ιδια ποσοτητα αμμου μαζας m. Η αμμος στο δισκο 1 ειναι ελευθεροι να κινηθει στην επιφανεια του , ενω η αμμος στον δισκο 2 δεν μπορει να μετακινηθει καθως ειναι κολλημενη με ειδικη κολλα. Απο τη χρονικη στιγμη t=0 και μετα ασκουμε στην περιφερεια των δυο δισκων την ιδια εφαπτομενικη δυναμη F σταθερου μετρου, τη χρονικη στιγμη t1 ολη η ποσοτητα της αμμου στο δισκο 1 εχει συγκετρωθει στην περιφερεια του και ειναι ακινητη σε σχεση με αυτη.
α)τη χρονικη στιγμη t1 το μετρο της στροφορμης του συστηματος ( δισκος 1 - αμμος ) ειναι:
ι)μεγαλυερο απο το μετρο της στοφορμης του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )
ιι)μικροτερο απο το μετρο της στοφορμης του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )
ιιι) ισο με το μετρο της στοφορμης του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )

β)τη χρονικη στιγμη t1 η κινητικη ενεργεια του συστηματος ( δισκος 1 - αμμος ) ειναι:
ι)μεγαλυτερη απο την κινητικη ενεργεια του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )
ιι)μικροτερη απο την κινητικη ενεργεια του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )
ιιι) ιση με τη κινητικη ενεργεια του συστηματος ( δισκος 2 - αμμος )

να επιλεξετε τις σωστες προτασεις και να αιτιολογησετε

Answer 1

Το μέτρο της στροφορμής του συστήματος δίσκος 1 - άμμος είναι ίσο με το μέτρο της στροφορμής του συστήματος δίσκος 2 - άμμος. Για την αιτιολόγηση ξεκινάμε από την σχέση:

$$Στ = \frac{dL}{dt}$$

Δηλαδή η μεταβολή της στροφορμής είναι ανάλογη του γινομένου δύναμη επί χρόνο. Όμως και για τα δυο συστήματα το γινόμενο είναι ίδιο, μιας και έχουμε την ίδια δύναμη και την ίδια χρονική διάρκεια.

Η κινητική ενέργεια του συστήματος δίσκος 1 - άμμος είναι μικρότερη από την κινητική ενέργεια δίσκος 2 - άμμος. Για την αιτιολόγηση αρκεί να σκεφτούμε ότι στο πρώτο σύστημα λόγω της μετακίνησης της άμμου, η ροπή αδράνειας του συστήματος αυξάνει. Αυτό έχει σαν συνέπεια από την σχέση

$$Στ = Ι \cdot α_{γων}$$

αφού έχουμε και στα δυο συστήματα την ίδια ροπή, η γωνιακή επιτάχυνση στο πρώτο σύστημα να είναι μικρότερη από την γωνιακή επιτάχυνση στο δεύτερο σύστημα. Και επειδή ο χρόνος είναι κοινός, έπεται ότι η γωνιακή ταχύτητα του πρώτου συστήματος είναι μικρότερη από την γωνιακή ταχύτητα του δεύτερου συστήματος. Έτσι παρόλο την αύξηση της ροπής αδράνειας επειδή μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα η τελική κινητική ενέργεια του πρώτου συστήματος είναι μικρότερη από αυτή του δευτέρου συστήματος, λόγω της εξάρτησής της από το τετράγωνο της ταχύτητας

$$Κ_{περ} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot ω^2 $$