σχετικη κινηση δισκου-δακτυλιου

Question

ενας ομογενης δισκος και ενας λεπτος δακτυλιος με ισες μαζες και ισες ακτινες εκτοξευονται απο τη βαση ενος κεκλυμενου επιπεδου παρραλληλα στη διευθυνση του επιπεδου και με φορά προς τα πάνω. τα σώματα εκτοξεύονται με τέτοιο τρόπο ώστε τα κέντρα μάζας τους να έχουν την ίδια αρχική ταχύτητα Ucm και απο την στιγμή της εκτόξευσης κυλίονται προς τα επάνω στο κεκλυμένο επίπεδο σε παράλληλες τροχιές χωρίς να ολυσθαίνουν. ο δακτύλιος φτάνει στο κεκλυμένο επίπεδο:
α) σε ψηλότερο σημείο απο ότι ο δίσκος
β)σε χαμηλότερο σημείο απο ότι ο δίσκος
γ) στο ίδιο ύψος με τον δίσκο

να επιλέξετε τη σωστή πρόταση με αιτιολόγηση.

Answer 1

Έστω $Ι_1$ η ροπή αδράνειας του ομογενή δίσκου και $Ι_2$ η ροπή αδράνειας του λεπτού δακτυλίου. Ισχύει

$$Ι_1 < Ι_2$$

$$ΣF = m \cdot a_{cm} \Rightarrow W_x - Ts = m \cdot a{cm}$$

$$Στ = Ι1 \cdot a{γων} \Rightarrow T_s \cdot R = I1 \cdot a{γων} \Rightarrow T_s = I1 \frac{a{cm}}{R^2}$$

και αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση έχουμε

$$m \cdot g \cdot ημφ - Ι1 \frac{a{cm}}{R^2} = m \cdot a{cm} \Rightarrow a{cm} = \frac{m \cdot R^2 \cdot g \cdot ημφ}{Ι_1+m\cdot R^2}

και επειδή η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη και η τελική ταχύτητα είναι μηδέν έχουμε για την συνολική απόσταση

$$x_{cm} = (I1 + R^2 \cdot m) \cdot \frac{u{cm}^2}{2\cdot R^2 \cdot m \cdot g \cdot ημφ}

οπότε επειδή $Ι_1<Ι_2 \Rightarrow x_1 < x_2$

δηλαδή ο λεπτός δακτύλιος κινείται μεγαλύτερη απόσταση έως ότου σταματήσει άρα ανεβαίνει πιο ψηλά. Σωστή η α)