νήματα σε ραβδο

Question

Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα m=2kg και μήκος L=2m. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση στηριγμένη στο σημείο Ο που απέχει απο το άκρο της Κ 0,5m. Τα δύο βαρίδια που είναι δεμένα στα άκρα της ράβδου έχουν μάζες m1=4kg και m2=6kg.Το ελατήριο έχει σταθερά Κ=400Ν/m.
α. Να βρεθέι η τάση του νήματος στο σημείο Κ
β. Να βρεθεί η αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου
γ. Αν κόψουμε το νήμα στον σημείο Κ, να γραφεί η εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα m1.

Answer 1

Αρχικά για το σώμα μάζας $m_2$ έχουμε ισορροπία άρα

$$Τ_2 = m_2 \cdot g \Rightarrow T_2 = 60N$$

και για τη ράβδο έχουμε ισορροπία άρα αλγεβρικό άθροισμα ροπών μηδέν

$$T_1 \cdot 0.5 = W \cdot 0.5 + 60 \cdot 1.5 \Rightarrow T_1 = 200Ν$$

Το ελατήριο αρχικά έχει επιμήκυνση $x_1$ που υπολογίζεται από τη σχέση

$$Τ_1 = F_{ελ} +W_1 \Rightarrow F_{ελ} = 160Ν \Rightarrow x_1 = 0.4m$$

Στη θέση ισορροπίας του το ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά $x_2$ που υπολογίζεται

$$F_{ελ} =m_1 \cdot g \Rightarrow x_2 = 0.1m$$

Άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι

$$Α = x_1 +x_2 \Rightarrow A = 0.5m$$

και θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι

$$x = 0.5 \cdot ημ(10 \cdot t + \frac{π}{2})$$