Το πλάτος ταλάντωσης όλων των υλικών σημείων δίνεται από την σχέση
$$y = 2 \cdot A \cdot συν(2\cdot π \cdot \frac{x}{λ})$$
Από τα δεδομένα του προβλήματος γνωρίζουμε ότι τα σημεία $x_K$ και $x_Λ$ βρίσκονται μεταξύ της τρίτης (Ν=2) και της τέταρτης (Ν=3) κοιλίας, δηλαδή αν σχεδιάσεις την γραφική παράσταση του συνημιτόνου φαντάσου τα μεταξύ του λ και του $\frac{3λ}{2}$ και επειδή γνωρίζουμε ότι προηγείται το $x_K$, αυτό σημαίνει ότι το πλάτος ταλάντωσης του θα είναι $+Α$.
Έτσι έχουμε:
$$λ < x_K < \frac{3λ}{2} $$
$$\frac{2π}{k} < x_K < \frac{3π}{k} $$
$$\frac{2π}{k} <0,7 < \frac{3π}{k} $$
$$2π < 0,7\cdot k <3π $$
$$\frac{2π}{0,7} < k <\frac{3π}{0,7} $$
$$\frac{60π}{21} < k <\frac{90π}{21} $$
άρα το k που ψάχνουμε (ονομάζεται κυματάριθμος και θα το μάθουν όσοι ασχοληθούν αργότερα με την κβαντομηχανική) θα πρέπει να είναι σε αυτή την περιοχή.
Για να λύσουμε τώρα την τριγωνομετρική εξίσωση:
$$ 2 \cdot A \cdot συν(2\cdot π \cdot \frac{x_Κ}{λ}) = Α$$
$$ συν(\frac{1,4π}{λ}) = \frac{1}{2} \Rightarrow συν(\frac{1,4π}{λ}) = συν \frac{π}{3}$$
και έχουμε δύο οικογένειες λύσεων. Από την πρώτη οικογένεια έχουμε
$$\frac{1,4π}{λ} = 2\cdot k \cdot π + \frac{π}{3} $$
για k=0 έχουμε την πρώτη τιμή για σημείο του μέσου που απέχει απόσταση μικρότερη από λ, άρα απορρίπτεται. έτσι για k=1 έχουμε
$$\frac{1,4π}{λ} = 2\cdot π + \frac{π}{3} \Rightarrow \frac{1,4π}{λ} =\frac{7π}{3}$$
και τελικά $λ = \frac{4,2}{7}$, οπότε για τον κυματάριθμο έχουμε την αποδεκτή τιμή:
$$k =\frac{14π}{4,2} = \frac{70π}{21} = \frac{10π}{3} m^{-1}$$