0 ψήφοι
83 προβολές

Δύο τρέχοντα αρμονικά κύματα με εξισώσεις y1=0,2ημ(2πt-kx) (S.I.) και y2=0,2ημ(2πt+kx) (S.I.), όπου k μια θετική σταθερά, διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x'Ox. Τα δύο τρέχοντα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Δύο υλικά σημεία Κ (xK=+0,7m) και Λ (xΛ>xΚ) του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος |Α'|=0,2m και βρίσκονται μεταξύ της τρίτης και τέταρτης κοιλίας που σχηματίζεται στον θετικό ημιάξονα.
Να υπολογίσετε τη σταθερά k

ερωτήθηκε σε Κύματα από τον/την | 83 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Το πλάτος ταλάντωσης όλων των υλικών σημείων δίνεται από την σχέση

$$y = 2 \cdot A \cdot συν(2\cdot π \cdot \frac{x}{λ})$$

Από τα δεδομένα του προβλήματος γνωρίζουμε ότι τα σημεία $x_K$ και $x_Λ$ βρίσκονται μεταξύ της τρίτης (Ν=2) και της τέταρτης (Ν=3) κοιλίας, δηλαδή αν σχεδιάσεις την γραφική παράσταση του συνημιτόνου φαντάσου τα μεταξύ του λ και του $\frac{3λ}{2}$ και επειδή γνωρίζουμε ότι προηγείται το $x_K$, αυτό σημαίνει ότι το πλάτος ταλάντωσης του θα είναι $+Α$.
Έτσι έχουμε:

$$λ < x_K < \frac{3λ}{2} $$

$$\frac{2π}{k} < x_K < \frac{3π}{k} $$

$$\frac{2π}{k} <0,7 < \frac{3π}{k} $$

$$2π < 0,7\cdot k <3π $$

$$\frac{2π}{0,7} < k <\frac{3π}{0,7} $$

$$\frac{60π}{21} < k <\frac{90π}{21} $$

άρα το k που ψάχνουμε (ονομάζεται κυματάριθμος και θα το μάθουν όσοι ασχοληθούν αργότερα με την κβαντομηχανική) θα πρέπει να είναι σε αυτή την περιοχή.

Για να λύσουμε τώρα την τριγωνομετρική εξίσωση:

$$ 2 \cdot A \cdot συν(2\cdot π \cdot \frac{x_Κ}{λ}) = Α$$

$$ συν(\frac{1,4π}{λ}) = \frac{1}{2} \Rightarrow συν(\frac{1,4π}{λ}) = συν \frac{π}{3}$$

και έχουμε δύο οικογένειες λύσεων. Από την πρώτη οικογένεια έχουμε

$$\frac{1,4π}{λ} = 2\cdot k \cdot π + \frac{π}{3} $$

για k=0 έχουμε την πρώτη τιμή για σημείο του μέσου που απέχει απόσταση μικρότερη από λ, άρα απορρίπτεται. έτσι για k=1 έχουμε

$$\frac{1,4π}{λ} = 2\cdot π + \frac{π}{3} \Rightarrow \frac{1,4π}{λ} =\frac{7π}{3}$$

και τελικά $λ = \frac{4,2}{7}$, οπότε για τον κυματάριθμο έχουμε την αποδεκτή τιμή:

$$k =\frac{14π}{4,2} = \frac{70π}{21} = \frac{10π}{3} m^{-1}$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες