0 ψήφοι
117 προβολές

Σώμα μικρών διαστάσεων, μάζας m=1kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η σταθερά επαναφοράς και η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος είναι D=100N/m και E=2J, αντίστοιχα. Το σώμα τη χρονική στιγμή t=0 έχει ταχύτητα u=+1m/s και κινείται προς τη θέση ισορροπίας του.
Α=0,2m, ω=10rad/s, φο=5π/3rad
Να υπολογίσετε επί πόσο χρόνο στη διάρκεια κάθε περιόδου η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την κινητική ενέργεια του σώματος. (όχι με τη χρήση διανυσμάτων)

ερωτήθηκε σε Ταλαντώσεις από τον/την
επεξεργάσθηκε από τον/την | 117 προβολές

1 Απάντηση

0 ψήφοι

Αν και με την χρήση των διανυσμάτων η λύση απλοποιείται αρκετά, ωστόσο μπορούμε και χωρίς αυτά ως εξής:
Θα βρούμε ποιες χρονικές στιγμές γίνονται ίσες η δυναμική με την κινητική ενέργεια και στην συνέχεια θα βρούμε τις χρονικές διάρκειες, δηλαδή επί πόσο χρόνο στην διάρκεια μιας περιόδου η δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από την κινητική.

$$ Ε_Δ = Ε_Κ \Rightarrow E_Δ = Ε_{ΟΛ} - Ε_Δ \Rightarrow 2 \cdot E_Δ = Ε_{ΟΛ}$$

$$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot D \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot D \cdot A^2 \Rightarrow x = \pm \frac {A}{\sqrt2}$$

$$A \cdot ημ(10t + \frac{5π}{3} )= \pm \frac {A}{\sqrt2}$$

και έχουμε να λύσουμε δύο τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η πρώτη θα μας δώσει δύο χρονικές στιγμές $t_1$ και $t_2$ και αντίστοιχα η δεύτερη τις $t_3$ και $t_4$.
Οπότε η συνολική χρονική διάρκεια θα είναι το σύνολό τους δηλαδή

$$Δt_1 = t_2 - t_1$$

$$Δt_2 = t_4 - t_3$$

$$Δt_{ΟΛ} =Δt_1 +Δt_2$$

Ας λύσουμε ενδεικτικά την πρώτη τριγωνομετρική εξίσωση:

$$ημ(10t + \frac{5π}{3}) = +\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow ημ(10t + \frac{5π}{3}) = ημ\frac{π}{4}$$

οπότε η πρώτη λύση είναι για κ=1:

$$10t + \frac{5π}{3} = 2π + \frac{π}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{7π}{120} $$

και η δεύτερη λύση είναι πάλι για κ=1:

$$10t + \frac{5π}{3} = 2π + π - \frac{π}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{13π}{120} $$

οπότε η πρώτη χρονική διάρκεια είναι:

$$Δt_1 = \frac{13π - 7π}{120} \Rightarrow Δt_1 = \frac{π}{20} sec$$

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε για την δεύτερη χρονική διάρκεια:
$$ Δt_2 = \frac{π}{20} sec$$

οπότε η ζητούμενη χρονική διάρκεια είναι

$$Δt_{ΟΛ} = \frac{π}{10} sec$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες