+1 ψήφος
252 προβολές

Έστω η συνάρτηση
$$f(x) = \frac{x^3}{6} - x^2 +2x$$
Να αποδειχθεί ότι η $f$ αντιστρέφεται και να οριστεί η $f^{-1}$.

ερωτήθηκε σε Κατεύθυνση από τον/την | 252 προβολές

2 Απαντήσεις

0 ψήφοι

Αφού ζητάει να δείξουμε ότι αντιστρέφεται, αλλά και επειδή είναι 3βάθμια, θα είναι αναγκαστικά της μορφής $f(x)=α(x+b)^3+c$

Αναπτύσσουμε την παραπάνω σχέση και έχουμε

$$ax^3+3abx^2+3ab^2x+ab^3+c$$

το οποίο θα είναι εκ ταυτότητας ίσο με την $f(x)$

Εύκολα βρίσκουμε ότι υπάρχουν $a$, $b$ και $c$ ώστε να ισχύει αυτό παίρνοντας τις εξισώσεις

$$a=\frac{1}{6}, 3ab=-1, 3ab^2=2, ab^3+c=0$$

Δηλαδή $a=\frac{1}{6}$, $b=-2$ και $c=\frac{4}{3}$. Άρα αποδείξαμε ότι

$$f(x)=\frac{1}{6}(x+2)^3+\frac{4}{3}$$

Δηλαδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, ως σύνθεση αύξουσων συναρτήσεων.

Εύκολα πλέον

$$y=\frac{1}{6}(x+2)^3+\frac{4}{3} \implies 6y-8=(x+2)^3 \implies x+2 = \sqrt[3]{6y-8}=\\
x=\sqrt[3]{6y-8}-2$$

Δηλαδή $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{6y-8}-2$

απαντήθηκε από τον/την

έκλεψα λίγο πρώτα, βάζοντάς το στο wolframalpha

0 ψήφοι

Έστω $f(x_1)=f(x_2)$ τότε

$$\frac{x_1^3}{6}-x_1^2+2x_1=\frac{x_2^3}{6}-x_2^2+2x_2 \\
x_1^3-6x_1^2+12x_1=x_2^3-6x_2^2+12x_2 \\
x_1^3-6x_1^2+12x_1-x_2^3+6x_2^2-12x_2=0 \\
(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)-6(x_1-x_2)(x_1+x_2)+12(x_1-x_2)=0 \\
(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-6x_1-6x_2+12)=0 \\
(x_1-x_2)(x_1^2+x_1(x_2-6)+x_2^2-6x_2+12)=0$$

Αυτό σημαίνει ότι $x_1=x_2$ ή $x_1^2+x_1(x_2-6)+x_2^2-6x_2+12=0$

Αν δούμε το δεξί μέλος ως τριώνυμο, η διακρίνουσά του είναι:

$$Δ=(x_2-6)^2-4(x_2^2-6x_2+12)= \\
x_2^2-12x_2+36-4x_2^2+24x_2-48=\\
-3x_2^2+12x_2-12=-3(x_2^2-4x_2+4) = -3(x_2-2)^2$$

Έτσι για $x_2 \ne 2 \implies x_1^2+x_1(x_2-6)+x_2^2-6x_2+12 \ne 0$
Για $x_2=2$ θα είναι

$$x_1=\frac{-(x_2-6)}{2}=2=x_2$$

Έτσι θα ισχύει αναγκαστικά $x_1=x_2$, δηλαδή η συνάρτηση είναι 1-1.

Για την αντίστροφη

$$6y=x^3-6x^2+12x = x^3- 3\cdot 2 x^2 + 3 \cdot 2^2x-8+8 \\
6y-8=(x+2)^3 \implies x+2 = \sqrt[3]{6y-8} \\
x=-2 + \sqrt[3]{6y-8}$$

απαντήθηκε από τον/την
Καλώς ήρθατε στο migadikos.gr. Μια βάση ασκήσεων όπου μπορείτε να ανεβάζετε οποιαδήποτε άσκηση αφορά μαθηματικά (φυσική, χημεία, μαθηματικά duh...) και να βλέπετε απαντήσεις από άλλα μέλη.

200 ερωτήσεις

171 απαντήσεις

84 σχόλια

40.2k χρήστες

200 ερωτήσεις
171 απαντήσεις
84 σχόλια
40,207 χρήστες